Hallo!
\(\displaystyle \sin(2x) = \sqrt{3}\sin(x) \quad\Longleftrightarrow\quad 2\sin(x)\cos(x) = \sqrt{3}\sin(x)\). Mit \(\displaystyle z = \sin(x)\) und \(\displaystyle \sqrt{1-z^2} = \cos(x)\), erhält man:
\(\displaystyle \pm 2z\sqrt{1-z^2} = z\sqrt{3}\), wobei man hier direkt \(\displaystyle z = 0\quad\Longleftrightarrow\quad \sin(x) = 0\quad\Longleftrightarrow\quad x_2 = k\pi\quad\text{mit}\quad k\in \mathbb{Z}\).
Für \(\displaystyle z\neq 0\) folgt weiter:
\(\displaystyle \left(\pm 2\sqrt{1-z^2}\right)^2 = \sqrt{3}^2 \quad\Longleftrightarrow\quad z = \pm\frac{1}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad x_2 = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k\). Das letzte \(\displaystyle \pm\) gilt, denn \(\displaystyle \sin(-x) = -\sin(x)\) und wir haben eine Gleichung, also kürzt sich das Vorzeichen weg.
Bei \(\displaystyle x_2\) kannst Du noch die \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\) ausklammern und erhälst so die Lösung.
Gruß.
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