Konvergenz von Folgen

Aufrufe: 758     Aktiv: 18.08.2020 um 21:48
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Ich soll die Folge \(a_n= \frac{n}{n^2+1}\) auf konvergenz prüfen. 

Ich habe die Lösung verstehe sie aber nicht ganz.

 

 
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Ich verstehe nicht, wrum nach Archimedischen Axiom \(N_\epsilon > \frac{1}{\epsilon}\) steht.
 
Danke schonmal im Vorraus.
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1 Antwort
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Ist für meinen Geschmack etwas dick aufgetragen, hier Archimedes ins Spiel zu bringen. Man braucht halt, dass es zu einer beliebigen Zahl (hier: 1/eps) eine natürliche Zahl N gibt, so dass für alle n größer N gilt: n>1/eps.

Das garantiert das Axiom, aber normalerweise wird das nicht erwähnt.

Rest des Beweises ist klar?

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Nicht so richtig. Also ich verstehe,dass ich \(\epsilon > 0\) wähle, da ich behaupte, dass 0 der Grenzwert ist und mit \eps ist die Umgebung gemeint, wo die meißten Folgenglieder sich drin befinden.

Und ab da scheitere ich.

Also ich verstehe nicht, wie man gezeigt hat, dass alle Folgenglieder nach N_\eps in der \eps-Umgebung liegen.   ─   maike 18.08.2020 um 15:32
Da wurde einfach nur stur die Definition angewendet und abgeschätzt. Was viele Studenten bei diesen Beweisen verwirrt ist, dass das Epsilon gleich zu beginn genannt wird. Dabei ist es eigentlich so, dass man das erst am Ende weiß und Mathematiker, so eitel wie sie sind, es beim Schönschreiben gleich zu Beginn hinklatschen.

Man kommt selten auf Beweise in genau der gleichen Reihenfolge wie sie einem präsentiert werden.   ─   anonym179aa 18.08.2020 um 21:47

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.