Nein, das stimmt so nicht. Du schreibst: "jedes Element aus \(Kern(\varphi)\) ist ein Vielfaches von \(3\) und \(1+\sqrt7\). Das ist leider schon falsch. Nach Definition ist $$(3,1+\sqrt7)=\{3a+(1+\sqrt7)b\ |\ a,b\in\mathbb Z[\sqrt 7]\}$$ Zum Beispiel gilt \(3\in(3,1+\sqrt7)\), aber \(3\) ist kein Vielfaches von \(1+\sqrt 7\).

Dein Beweis selbst geht an mehreren Stellen schief: Warum soll \(\frac{a+b\sqrt7}{-6}\in\mathbb Z\) gelten? Sobald \(b\neq0\), gilt das sicher nicht. Bei deiner Äquivalenzenkette modulo 3 rechnest du in \(\mathbb F_3\), insbesondere darst du deine Äqivalenz nicht mit \(\sqrt7\notin\mathbb F_3\) erweitern.

Was musst du stattdessen tun? Du sollst \(\ker\varphi=(3,1+\sqrt7)\) zeigen, dazu zeigen wir beide Mengeninklusionen.

Die Inklusion \((3,1+\sqrt7)\subseteq\ker\varphi\) ist einfach: Nimm dir ein beliebiges Element aus dem Ideal, dieses hat die Form \(v:=3a+(1+\sqrt7)b\) (vgl. oben) und rechne nach, dass \(\varphi(v)=0\).

Die andere Richtung ist auch nicht schwer. Nimm dir ein \(v=a+b\sqrt7\in\ker\varphi\) und betrachte \(v':=v-b(1+\sqrt7)=a-b\). Zeige \(v'\in 3\mathbb Z\) (das hast du fast schon gemacht), daraus folgt die Aussage.