Ein beliebiges Element aus \( V \) ist ja ein Polynom der Form \( a_0 + a_1 X \) mit \( a_0, a_1 \in K \). Dies lässt sich mithilfe der Basis \( b \) darstellen als \( a_0 + a_1 X \) \( = a_0 ( 2 (1+X) + (-1) (1+2X) ) + a_1 ( (-1) (1+X) + 1 (1+2X)) \) \( = ( 2 a_0 - a_1 ) (1+X) + ( - a_0 + a_1 ) (1+2X) \) Nun sind \( b_1^* \), \( 1^* \) und \( X^* \) ja \( K \)-lineare Abbildungen, für die gilt: \( b_1^*(b_1)=1 \), \( b_1^*(b_2)=0 \), \( 1^*(1)=1 \), \( 1^*(X)=0 \), \( X^*(X)=1 \) und \( X^*(1)=0 \) (Das sind ja gerade die Eigenschaften, die eine duale Basis charakterisieren). Damit erhält man \( b_1^*( a_0 + a_1X ) \) \( = b_1^* ( ( 2 a_0 - a_1 ) (1+X) + ( - a_0 + a_1 ) (1+2X) ) \) \( = ( 2 a_0 - a_1 ) \cdot b_1^* (1+X) + ( - a_0 + a_1 ) \cdot b_1^* (1+2X) \) \( = ( 2 a_0 - a_1 ) \cdot b_1^* (b_1) + ( - a_0 + a_1 ) \cdot b_1^* (b_2) \) \( = ( 2 a_0 - a_1 ) \cdot 1 + ( - a_0 + a_1 ) \cdot 0 \) \( = 2a_0 - a_1 \) \( = 2 \cdot ( a_0 \cdot 1 + a_1 \cdot 0 ) + (-1) \cdot ( a_0 \cdot 0 + a_1 \cdot 1 ) \) \( = 2 \cdot ( a_0 \cdot 1^*(1) + a_1 \cdot 1^*(X) ) + (-1) \cdot ( a_0 \cdot X^*(1) + a_1 \cdot X^*(X) ) \) \( = 2 \cdot 1^*(a_0 + a_1 X ) + (-1) \cdot X^*(a_0 + a_1 X) \) \( = ( 2 \cdot 1^* + (-1) \cdot X^* )(a_0 + a_1 X) \) Da nun \( b_1^*( a_0 + a_1X ) = ( 2 \cdot 1^* + (-1) \cdot X^* )(a_0 + a_1 X) \) für jedes beliebige Element \( a_0 + a_1 X \) aus \( V \) gilt, folgt somit \( b_1^* = 2 \cdot 1^* + (-1) \cdot X^* \). Die Darstellung für \( b_2^* \) erhält man analog. Ich hoffe, das damit deine Fragen geklärt wurden. Ansonsten kannst du gerne noch mal nachfragen. Wichtig bei der Aufgabe ist, dass man sich mit dualen Basen auskennt und mit ihnen gut rechnen kann.