Also zuerst einmal ist der Schritt wo du \(n\longrightarrow n+1\) machst, also die Aussage für \(n+1\) zeigen möchtest, der Induktionsschritt und nicht die Induktionsvoraussetzung.

Zu deiner Frage mit der Gleichheitszeichen mit dem IV drüber. IV ist die Abkürzung für die Induktionsvoraussetzung. Das soll dir nur kennzeichnen, dass du diese in diesem Schritt einsetzt. 

Eigentlich gehört zu einer vollständigen Induktion eigentlich immer auch noch eine Induktionsbehauptung dazu, welche du in der Induktionsvoraussetzung für ein festes \(n\in \mathbb{N}\) als gegeben annimmst. Die Induktionsvoraussetzung ist \(\displaystyle{1+\sum_{k=0}^n 2^k=2^{n+1}}\). Genau dieser Term wird in dem Schritt \(\overset{IV}{=}\) ersetzt.

Hoffe das hilft weiter.

Der Ausdruck 1 + Summenzeichen ist ja 2^n+1. durch den Schritt n+1 fügst du praktisch 2^n+1 hinzu. Das ergibt 2^n+1 + 2^n+1= 2* 2^n+1 = 2^ n+2