(Ich geh mal davon aus, dass du eine lineare Abbildung meinst)

\( \phi^{-1}(\{0\}) \) ist die Menge aus denjenigen Elementen, die von \( \phi \) auf die Null geschickt werden. Also \( \phi^{-1}(\{0\})=\{ x \in \mathbb{R}^2 \vert \phi(x)=0 \} \). Bei linearen Abbildungen bezeichnet man diese Menge auch als Kern von \( \phi \).

\( \phi( \mathbb{R}^2)\) besteht aus den Bildern von Elementen aus \(\mathbb{R}^2\) unter \( \phi \). Also \( \phi(\mathbb{R}^2) = \{ \phi(x) \vert x \in \mathbb{R}^2 \} \). Da \(\phi\) linear ist und \( \mathbb{R}^2 \) der komplette Definitionsbereich ist, nennt man \( \phi(\mathbb{R}^2) \) auch das Bild von \( \phi \).

Beachte, dass der Kern und das Bild im Allgemeinen in unterschiedlichen Mengen liegen (Der Kern ist Teilmenge des Definitionsbereiches und das Bild ist Teilmenge des Wertebereiches). Da hier jedoch Definitions- und Wertebereich übereinstimmen, liegen Kern und Bild in der gleichen Menge. Also ergibt es Sinn, sich zu fragen, ob der Kern gleich dem Bild sein kann.