Beweis, dass Zahl rational ist

Aufrufe: 921     Aktiv: 25.04.2020 um 22:19
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Hallo.

Der Wiederspruchsbeweis für eine irrationale Zahl (Bsp: \( \sqrt{76} \) ) ist mir klar.

Ich frage mich jetzt allerdings, ob und, falls ja, wie ich diese Beweisfom bei einer echten Rationalen Zahl (Bsp: \( \sqrt{576} \) ) anwenden kann? 

Ich beginne mit:
\( \sqrt{576} = p/q \)
\( 576q^2 = p^2 \) --> d.h. wenn q² durch 576 teilbar ist, ist p² und damit auch p durch 576 teilbar. --> d.h. p ist eine durch 576 teilbar Zahl (r)
\( p= 576r \)
\( 576q^2 = (576r)^2 \)
\( 576q^2 = 331776r^2 \)
\( q^2 = 576r^2 \) --> und das heißt für mich, dass q ebenfalls eine durch 576 teilbare Zahl ist und somit die p und q NICHT teilerfremd sind. Demnach ist das ein Widerspruch für die Definition von Rationalen Zahlen.

Das dies Quatsch ist, ist mir klar. Mir ist nur nicht klar, an welcher Stelle ich etwas anders machen muss?
 

 

 

 

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Daraus, dass `p^2` durch 576 teilbar ist, folgt nicht, dass `p` durch 576 teilbar ist. Das wäre nur der Fall, wenn 576 eine Primzahl wäre. Was es nicht ist.

Leichter siehst du so etwas, wenn du einfachere Zahlen nimmst, zum Beispiel, `p = 6` und der Teiler ist 9. `p^2` ist 36 und durch 9 teilbar, aber p ist nicht durch 9 teilbar.

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Die Zahlen sind mir leider vorgegeben.
Bei der Beweisführung von \( \sqrt76 \) komme ich ja zwangsläufig auf die gleiche Zeile. Muss ich an dieser Stelle die Teiler (76 bzw. 576) so lange teilen, bis ggf. eine Primzahl rauskommt?
Und wenn dann keine Primzahl rauskommt, sind p und q teilerfremd?   ─   petrapetrasen3 24.04.2020 um 23:39
Du hast recht, Argumentation funktioniert bei 76 auch nicht. Du kannst aber die 4 rausziehen und das Argument dann für die 19 anwenden.   ─   digamma 24.04.2020 um 23:52
Ok. hatte ich auch so gemacht.
Dass bei 76, nach Auszug der 4, eine 19 (Primzahl) steht und ich dann sagen kann: wenn p² durch 19 teilbar ist, ist auch p durch 19 teilbar - leuchtet mir ein.
Wenn ich nun aber bei 576 die 192 rausziehe, komme ich auf 3 - eine Primzahl. Oder ich ziehe die 288 raus, komme auf 2 - ebenfalls eine Primzahl.
Das Ergebnis führt mich aber immer wieder zu dem Punkt, dass ich für q² und p² jeweils dasselbe Ergebnis habe, was bedeutet, dass sie nicht teilerfremd sind. Demnach muss ja noch irgendwo ein Fehler sein.
Wie also führe ich diesen Beweis zu Ende, dass \( \sqrt576 \) rational ist?   ─   petrapetrasen3 25.04.2020 um 00:09
Bei der 76 argumentierst du ja so:

Zuerst beweist du dass sqrt(19) irrational ist und danach schreibst du sqrt(76)=sqrt(4)*sqrt(19)=2sqrt(19) was auch irrational ist, da das Produkt einer rationalen Zahl und einer irrationale Zahl immer irrational ist.

Bei sqrt(576)=sqrt(192)*sqrt(3) hast du das Produkt von zwei irrationale Zahlen was nicht zwingend irrational sein muss.   ─   timolke 25.04.2020 um 01:24
Und der Schritt wenn p^2 durch n teilbar ist, dann ist auch p durch n teilbar gilt nicht nur für primzahlen n sondern für alle n, die keinen primteiler doppelt haben. (Das ist so, da alle Quadratzahlen keinen Primteiler einfach haben und somit jeder Primteiler, den eine Quadratzahlen hat auch ihre Wurzel mindestens einmal hat.)
Im allgemeinen kann man dann sagen:
Schreiben wir die natürliche Zahl m als m=x^2*n sodass x und n natürlichen Zahlen sind und n keinen Primteiler doppelt hat.
Wenn n=1, ist, weil x eine natürliche Zahl ist, sqrt(m) =x rational.
Wenn n ungleich 1 ist, ist sqrt(m) =x*sqrt(n), wobei du wie oben beschrieben hast beweisen kannst dass sqrt(n) irrational ist und somit m das Produkt einer rational und einer irrationale Zahl ist und somit auch irrational ist.   ─   timolke 25.04.2020 um 01:41
1.) Dass das Produkt von zwei irrationalen Zahlen "nicht zwingend irrational" sein muss, beweist nicht, dass es rational ist.
2.) Was genau meinst du mit "Primteiler doppelt haben"?
3.) Kann der Beweis für \( \sqrt576 \) vielleicht mal konkret mit dem entsprechenden Weg niedergeschrieben werden, sodass ich dass auch an diesem Beispiel nachvollziehen kann?   ─   petrapetrasen3 25.04.2020 um 21:21
2) Mit primteiler doppelt haben meine ich, dass in der peimfaltorzerlegeung mindestens eine Primzahl mehr als einmal vorkommt. Also z. B. bei der 18=2*3*3 hat man zwei mal die drei also kommt der primteiler 3 doppelt vor.
3) Alleine die tatsache das 576 eine quadratzahlen ist, sagt ja schon aus dass sqrt(576) eine rationale Zahl ist.
Du kannst also noch zeigen, dass 576beine quadratzahlen ist, das könnte man über die Primfaktorzerlegung machen. Also du sagst da 576=2^6*3^2.
Somit kommt jeder Primteiler von 576 in einer geraden Anzahl vor und somit ist 576 eine quadratzahlen.   ─   timolke 25.04.2020 um 22:18

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