y‘‘ = 7y‘ - 12y (mit y(0)=1 und y‘(0)=0)
<=> y'' -7y' + 12y = 0
Es ist eine homogene lineare DGL zweiter Ordnung.
Der Ansatz ist \( y(x) = e^{\lambda x} \)
=> \( \lambda ^2 - 7 \lambda + 12 = 0 \)
<=> \( \lambda = 3 \lor \lambda = 4\)
Die beiden Lösungen können beliebig gemischt werden, das führt zur allgemeinen Lösung
\( y = A\cdot e^{3x} + B \cdot e^{4x} \)
A und B werden so gewählt, dass die Anfangsbedingungen passen:
\( y' = 3A \cdot e^{3x} + 4B \cdot e^{4x} \)
y(0) = 1 => A + B = 1
y'(0) = 0 => 3A + 4B = 0
Lösung des LGS liefert A = 4, B = -3
Lösung der Aufgabe:
\( y(x) = 4 e^{3x} - 3 e^{4x} \)
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 140