Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
Sei \( K \) ein Körper. Bestimmen Sie die zur Basis
\( v_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), v_{4}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \)
von \( K^{4} \) duale Basis von \( \left(K^{4}\right)^{*} \), indem Sie deren Elemente als Linearkombinationen der kanonischen Projektionen \( p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}: K^{4} \rightarrow K \) angeben.
Problem/Ansatz:
Ich habe mir jetzt diverse Formenbeiträge angeschaut, wo die duale Basis häufig irgendwie über die invertierbare Matrix von den Vektoren, aufgefasst als Spaltenvektoren eben dieser Matrix, berechnet wurden. In der Aufgabe geht es jetzt explizit darum, dass über die Linearkombination zu lösen.

Ich bin jetzt auf diese Linearkombination gekommen:
\( e_{1}=v_{1}; \quad e_{2}=v_{2}-v_{1}; \quad e_{3}=v_{3}-v_{2}; \quad e_{4}=v_{4}-v_{3} \)

Problem ist, ich weiß nicht so recht was ich damit anfangen soll. Konkret, wie bestimme ich $v_1^*(e_1), v_1^*(e_2),...,v_4^*(e_1), v_4^*(e_2),... $? Noch konkreter verorte ich das Problem bei den Indizes, weil ich nicht so recht weiß, an welche Stelle ich jetzt gerade eigentlich schauen muss.

Habe in der Literatur häufig das Beispiel $v_1=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}; v_2=\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$. Leider finde ich das ausgesprochen schwierig nachzuvollziehen, wenn man nicht wirklich sieht welche Stellen sich da eigentlich angeschaut werden. Da heißt es dann nur: \( v_{1}^{*}\left(e_{1}\right)=1, v_{2}^{*}\left(e_{2}\right)=1, v_{2}^{*}\left(e_{1}\right)=0 \) und \( v_{1}^{*}\left(e_{2}\right)=-1 \)

Würde mich freuen, wenn da jemand ggf. helfen könnte.
~Daniel