Schaue gerade ehrlich gesagt mit müden Augen drauf, aber aus dem Bauch heraus ist das möglich, indem du an die Vektorfunktion in jedem Punkt den zum Tangetialvektor normierten Normalenvektor s-fach hinzuadierst. Wenn du Zeit hast und mich morgen erinnerst, dann probiere ich das selbst mal schriftlich und sag dir dann, ob ich Quatsch erzählt habe. Vielleicht bringt dir der Denkanstoß jetzt aber trotzdem schön was :D

Die Vektoren stehen ja links ausgerechnet. Addiert man die Normale der Länge s auf den Parabelpunkt (k, k^2), so erhält man den Punkt auf der blau punktierten Linie als \(C(k)=\frac{s}L\binom{2k}{-1} + \binom{k}{k^2}\), wobei \(L=\sqrt{4k^2+1}\).

Die blau punktierte Linie ist also \(\{ C(k) | k\in R\}\). Das ist aber nicht die gesuchte Form \(y=f(x,s)\). Wir haben: 

\(x= \frac{2ks}L+k\) und \(y=\frac{-s}L+k^2\).

Um auf einen Zusammenhang \(y=f(x,s)\) zu kommen, müsste man die erste Gleichung nach k umstellen (Achtung: im L steckt auch noch k) und dieses k in die zweite Gleichung einsetzen. Dann hat man \(y=f(x,s)\).

Diese Umstellung geht aber nicht exakt (Nullstellen eines Polynoms 4. Grades). Daher gibt es kein solches f in geschlossener Form (d.h. ohne Approximationsmethoden). Jedenfalls sehe ich nicht, wie das gehen sollte.

PS: Zu Deiner Überschrift: Ein Polynom ist das sicher nicht, und davon steht auch nichts in der Aufgabe.