Du musst doch gar nicht die Produktreihe "auflösen". Es reicht doch, wenn Du die von Dir angegebene Formel durch vollständige Induktion beweist. Die konvergiert ja nun offensichtlich gegen 1/2.

Induktionsanfang wäre hier zur Abwechselung bei \(n=2\). Also müsstest Du beweisen:
    \(\displaystyle \prod_{k=2}^2 \left(1-\frac{1}{k^2} \right) = \frac{2+1}{2\cdot 2}\).
Induktionsvoraussetzung:  \(\displaystyle \prod_{k=2}^n \left(1-\frac{1}{k^2} \right) = \frac{n+1}{2n}\).
Induktionsschluss: \(\displaystyle \prod_{k=2}^{n+1} \left(1-\frac{1}{k^2} \right) = \frac{n+2}{2(n+1)}\).
Um den zu zeigen, fängt man am besten auf der linken Seite an und spaltet den Faktor für k=n+1 aus dem Produkt ab, um die Induktionsvoraussetzung  verwenden zu können, also so:
\(\displaystyle \prod_{k=2}^{n+1}  \left(1-\frac{1}{k^2} \right) \;=\;
  \left( \prod_{k=2}^n  \left(1-\frac{1}{k^2} \right) \right) \left(1-\frac{1}{(n+1)^2} \right)\;=\;
  \frac{n+1}{2n} \left(1-\frac{1}{(n+1)^2} \right)
\)
So, ab hier musst Du mit den Regeln der Bruchrechnung weiterrechnen, um auf \(\displaystyle \frac{n+2}{2(n+1)}\) zu kommen.