Hi,

da du als Profil "Student" angegeben hast, könnte ich mir vorstellen, das in dieser Aufgabe tatsächlich nach der Lambertsche W-Funktion gefragt ist.
Diese Funktion ist speziell für Gleichungen, wie du sie gestellt hast gedacht.

Den Ursprung hatte die Funktion, als Umkehrfunktion von \(y = x\cdot e^x\), sie wurde aber auch erweitert zu \(y = a(x) \cdot e^{a(x)}\). Die Lambertsche W-Funktion ist als direkte Umkehrfunktion zu sehen:

\(y = a(x) \cdot e^{a(x)}\)
\(W(y) = a(x)\)

In deinem Fall hast du \(p\) statt \(x\), geht aber dennoch:

\(-10 = 30p\cdot e^{0.2p}\)
\(-\frac{1}{15} = 0.2p\cdot e^{0.2p} \)

Jetzt hast du alles fürdie Lambertsche W-Funktion fertig:

\(y = -\frac{1}{15}\)
\(a(p) = 0.2p\)

Also folgt damit:

\(W(-\frac{1}{15}) = 0.2p\)
\(5\cdot W(-\frac{1}{15}) = p\)

Durch die Annäherung nach der Taylor Serie, kannst du auch den Wert von \(p\) bestimmen, mehr als eine Annäherung wirst du aber nicht bekommen:

\(W(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-k)^{k-1}}{k!}\cdot x^k\)

Das habe ich jetzt einfach mal von Wolfram Alpha lösen lassen und dann erhälst du:

\(p\approx -0.358\)
Für Rechnung klicke hier.