In der angeg. Quelle sehen die \(F_n\) anders aus, nämlich ((7.44)):
\( F_n(z)= A_n\cdot e^{-\frac{z}{z_0}}\) mit \( z_0 = \frac{a}{2\pi n}\)
Aus (7.41) erhält man für \(x=0\):
\(\phi(0,z) = F_n(z)\)
Jedes obige \(F_n(z)\) erfüllt die Dgl (für \(x=0\)), allgemein gilt dann:
\( \phi(0,z) = \sum\limits_{n=-\infty}^\infty A_n\cdot e^{-\frac{z}{z_0}}\)
Es sollte dann \(\phi\) für \(x=0\) als Funktion von \(z\) vorgegeben sein (Randbedingung).
Hilft das?
PS: Edit: Satz mit Fourierreihe entfernt.
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Aber weiterhin danke für dein Einklinken in die Aufgabe. ─ walter 02.06.2020 um 08:53
Wie das \(F_n\) aus der Quelle zu stande kommt ist mir auch noch nicht so recht klar. Denn die eigentliche DGL sieht wie folgt aus:
\(F_n''-((4*\pi^2*n^2)/(a^2))*F_n = 0\) (das enstpricht ja der DGL 7.43 aus der Quelle )
wenn ich dafür das charakteristische Polynom aufstelle bekomme ich:
\(\lambda^2-((4*\pi^2*n^2)/(a^2))= 0\)
Damit hätte ich 2 Lösungen für \(\lambda\):
\(\lambda_1=(2*\pi*n)/a\)
\(\lambda_2=-(2*\pi*n)/a\)
Dadurch hätte ich mit entsprechendem Lösungsansatz für 2 Lösungen von \(\lambda\)
\(F_n(z)=A_n*exp((2*\pi*n*z)/a)+B_n*exp(-(2*\pi*n*z)/a)\)
Das war jetzt mein Vorgehen. Ich hätte jetzt vermutet, dass eventuell durch die Randbedingungen \(a=0\) wird und mein \(b\) quasi dem \(A_n\) aus der
Quelle entsprechen würde.
Ganz genau konnte ich dir in deiner Antwort leider nicht folgen. Also mir ist weiterhin nicht klar wie ich die Randbedingungen wähle um meine Konstanten aus meiner DGL zu bestimmen, bzw. das \(A_n\) aus der Quelle. Die Randbedingungen müssen sich aus dem Text zur Aufgabe bzw. zu dem Problem ergeben.
─ walter 01.06.2020 um 21:40