Tangente (eindimensionale Analysis)

Aufrufe: 534     Aktiv: 21.12.2022 um 22:39
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Kann mir jemand den gelb markierten Teil erklären? 
Mein Dozent meinte nur, dass es darum geht, von f(x0) zu f(x0+dx) zu gelangen. 
Mir ist jedoch überhaupt nicht klar, was man hier aussagen möchte und inwiefern der Ausdruck mit ax+b übereinstimmt? 

Danke im Vorraus für die Hilfe. :)

EDIT vom 19.12.2022 um 22:25:

Bild zum neuen Kommentar: Die obenstehende Gleichung wurde verwendet, um die Aufgabe zu lösen. Eventuell hilft dies, um die Gleichung interpretieren zu können (da sie ohne Kontext unklar erscheint). 
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gefragt

Punkte: 222

 
ist an meiner Frage etwas unklar?   ─   nas17 16.12.2022 um 01:20
für mich ist nicht klar, was \(df(x_0)\) bedeuted. Der Ausdruck ist nirgends deklariert. Üblicherweise bedeutet \(df(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)\) oder \(f(x)-f(x_0)\). Da beide Ausdrücke zu einer falschen Gleichung führen, nämlich zu \(y(x)=f'(x_0)=\text{const.}\), kann ich dir hier nicht helfen.   ─   fix 16.12.2022 um 17:30
Vielen Dank für die Nachricht. df(x0) ist rechts als Steigungsdreieck geschrieben. Ist jedoch unklar für mich, warum nicht df (wurde beim Bild so angeschrieben).

Die Gleichung wurde anschliessend verwendet, um folgende Aufgabe zu lösen (Bild hänge ich als EDIT an): Gegeben ist die Funktion $$f(x,y)=x^2y^5+y^5x^2$$. Bestimmten Sie die Gleichung der Tangentialebene im Punkt (1,1,2).
Ich hoffe das Bild hilft weiter, um die Gleichung besser zu interpretieren...   ─   nas17 19.12.2022 um 22:23
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Hallo!

Ich muss jetzt doch mal etwas anmerken. Wenn das dein Prof so an die Tafel geschrieben hat, dann hat er ganz schönen Murks produziert. Die Gleichung

y(x) = ax + b = f(\(x_0\)) + df(\(x_0\))

ist falsch. Links vom Gleichheitszeichen steht der Funktionsterm einer Geraden. Rechts vom Gleichheitszeichen wird der Funktionswert f(\(x_0+dx\)) berechnet. Da steht also letztlich eine Zahl ! Ich würde mal vermuten, dass das kein (originärer) Mathe-Prof war ...

LG, Ruben
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Hallo Ruben, ja es war auch "nur" ein Dozent in der Mathe-Übungsgruppe. Weisst du, was er mit der Gleichung meint? Ich bin vorher beim Vorbereiten auf die Prüfung auf das Differential gestossen, was hier sehr ähnlich aussieht?

PS: Die Formel für die Tangentialebene kenne ich. Ich würde nur gerne die "Herleitung" verstehen für mein Gewissen. Ich fühle mich wohler, wenn ich weiss, wie man auf die Formel kommt...   ─   nas17 21.12.2022 um 21:37
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Es geht hier um die Idee der "linearen Approximation" einer differenzierbaren Funktion in einer kleinen Umgebung der Stelle, in der die Funktion differenzierbar ist. Wenn eine Funktion f an einer Stelle \(x_0\) differenzierbar ist, dann gilt für alle Werte \( x \) in einer (hinreichend kleinen) Umgebung von \( x_0 \), dass \( f(x)\) \( \approx \) \( f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) \). Und wenn \( x \) sehr nahe bei \( x_0 \) liegt, dann kann man für die Differenz \( x - x_0 \) auch \( dx \) schreiben.   ─   mathematinski 21.12.2022 um 21:48
Danke :)   ─   nas17 21.12.2022 um 22:02

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Eine Tangente hat die Gleichung $y(x)=ax+b$. Man weiß, dass für die Tangente im Punkt $P(x_0|f(x_0))$ gilt, dass die Steigung $a=f'(x_0)$ ist. Setze $a=f'(x_0)$, $x=x_0$ und $y(x)=f(x_0)$ in die Tangentengleichung ein, löse nach $b$ auf und dann steht am Ende das Resultat da.
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Stimmt. Aber trotzdem stimmt das, was derjenige an die Tafel gepinnt hat, NICHT ...   ─   mathematinski 21.12.2022 um 21:53
Dann erhalte ich b=f(x0)-f'(x0)*x0?   ─   nas17 21.12.2022 um 22:03
Ja, und dann klammerst du $f'(x_0)$ aus.   ─   cauchy 21.12.2022 um 22:04
f'(x0) kommt doch nur 1 Mal vor?   ─   nas17 21.12.2022 um 22:13
$a=f'(x_0)$   ─   cauchy 21.12.2022 um 22:26
a habe ich ja bereits mit f'(x0) ersetzt. Aber sehe schon, dass b=y-ax und b=f(x0)-f'(x0)*x0 gleich sind.

PS: Weisst du, wie ich bei meinem die Funktion in Latex ohne den grossen Abstand oberhalb und unterhalb bekomme? Ich habe jeweils zwei Dollarzeichen gesetzt?

Bsp: $y=3-x$   ─   nas17 21.12.2022 um 22:36
Nimm nur ein Dollarzeichen. Bei zwei Dollarzeichen hast du eine abgesetzte Formel, bei einem Dollarzeichen hast du eine Inline-Formel, die direkt im Text steht.   ─   cauchy 21.12.2022 um 22:37
Achso, Super, danke   ─   nas17 21.12.2022 um 22:39

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