Injektivität/Surjektivität von Tupeln

Aufrufe: 890     Aktiv: 27.11.2021 um 14:15
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Also, ich habe die Abbildung $$f: {N} \times {N} \rightarrow {Q}, (m,n) \mapsto \frac {m} {n}$$
${N}$ ist hierbei $\geq 1$ und dazu die Aufgabe zu zeigen, dass f nicht injektiv ist. Unabhängig von der Aufgabe, wüsste ich um ehrlich zu sein auch nicht wie ich die Surjektivität nachweise, oder wie man z.B. mit Einschränkungen auf f arbeitet, weil ich einfach nichts mit dieser Darstellung als Tupel anfangen kann.
Natürlich kenne ich die Def von injektiv und surjektiv, kann sie aber nicht auf dieses Problem anweden.
Kann mir da beim Verständnis jemand weiterhelfen?
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Injektiv bedeutet ja, dass die Elemente aus dem Definitionsbereich identisch sind, wenn deren Bild identisch ist. Bei dieser Abbildung kann man jetzt aber sofort sehen, dass sie nicht injektiv ist, weil du einen Bruch $\frac{m}{n}$ mit vielen verschiedenen Zahlen $m$ und $n$ bilden kannst, der Wert des Bruches aber unverändert bleibt. Versuche da doch mal ein konkretes Beispiel anzugeben. 
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 
Ersteinmal Danke für deine schnelle Antwort .D

Da kann man die Injektivität ja recht leicht durch ein Gegenbeispiel wiederlegen, z.B.:
$f((4,2)) = f((2,1))$, aber $(4,2) \neq (2,1)$, was der Def der Injekltivität wiederspricht.

Bei der Surjektivität bin ich mir nicht ganz sicher.
Nach Def muss jedes y aus dem Wertebereich mindestens ein x aus dem Definitionsbereich besitzen. Nehme ich jetzt z.B. den Bruch $\frac {0} {n}$, dann ist dieser im Wertebereich enthalten, aber 0 wird durch ${N} \geq 1 $ ausgeschlosse, d.h.:
$$\exists y \in W \forall x \in D: y \neq f(x)$$
was ja auch der Def von Surjektivität wiederspricht. Ist das so "mathematisch genug" argumentiert?

Jetzt vielleicht was zu Einschränkunge:
Angenommen ich hätte eine Teilmenge $A \subset {N} \times {N}$ und würde versuchen wollen f so einzuschränken, dass auch die Injektivität gilt. Dann würde ich aus dem Bauchgefühl heraus irgendwie die Voraussetzung bestimmen, dass die Brüche in ihrer gekürzten Form vorkommen müssen. Aber das hier ist jetzt so ein Punkt wo ich mit den Tupeln nicht viel anfangen kann, denn bei Einschränkungen erweitere ich ja den Defbereich, aber ich weiß um ehrlich zu sein wie man das z.B. in diesem konkreten Fall anstellen würde.

Edit: Mir ist gerade eine Idee gekommen.
Sei $A:= \{ x \in {N} \times {N} | m=1 \land n \in {N}\}$, dann ist $A:= \{(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); ....(1,n) \} $ also eine Teilmenge von ${N}$. Da man keine dieser Brüche kürzen kann und alle auf ${Q}$ abgebildet werden, ist die Einschränkung $f|_A$ injektiv.
Kann man das so schreiben?

MfG   ─   xedric 27.11.2021 um 09:52

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.