Hallo,

du darfst in solchen Körpern auch zuerst den Gaußalgorithmus ganz normal durchführen und dann am Ende die Modulo Rechnung durchführen.

Du hast einen Fehler vom 2ten in den 3ten Schritt gemacht. Du hast nämlich vergessen die \( x_2 \) Komponente zu verrechnen. Es müsste

$$ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) $$

heißen. Wenn ich allerdings jetzt ebenfalls \( II + III \) rechne, erhalte ich auch deine letzte Zeile im letzten Schritt, also

$$ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -3 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) $$

Jetzt dürfen wir aber nicht vergessen, dass wir in \( \mathbb{Z}/ 3\) sind. Hier gilt nämlich 

$$ -3 \mod 3 \equiv 3 \mod 3 \equiv 0 $$

Außerdem gilt

$$ -1 \mod 3 \equiv 2 $$

damit erhalten wir die Endmatrix

$$ \left( \begin{matrix} 1 & 1  & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) $$

Dass das die gleiche Matrix ist wie bei deinem Komilitonen, sieht man wenn man die zweite Zeile mit \( 2 \) multipliziert.

$$ \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 2 \end{matrix} \right. \left| 1 \right) \overset{\cdot 2}{\sim} \left( \begin{matrix} 0 & 2 & 4 \end{matrix} \right. \left| 2 \right) $$

Da wir in \( \mathbb{Z}/3 \) sind, gilt

$$ 4 \mod 3 \equiv 1 \mod 3 \equiv 1 $$

und wir erhalten die Zeile

$$ \left( \begin{matrix} 0 & 2 & 1 \end{matrix} \right. \left| 2 \right) $$

Grüße Christian

Natürlich solltest Du den Körper berücksichtigen. Aber die Rechenregeln sind in allen Körpern gleich, daher ist Deine Rechnung auch - fast - in Ordnung.

Rechenfehler: In der Mitte der Matrix muss eine 1 stehen.

Und nun kannst Du auch am Ende Deiner Rechnung auf den Körper Z3 umschalten (was Deine Kommilitonin vorher gemacht hat). -3 = 3, -1=2 in Z3, und damit kommst Du am Ende auf die gleiche Matrix. Beachte, dass ihre Zeile (2 1 2) das doppelte Deiner Zeile (1 2 1) ist. Schaue Dir das Rechnen in Z3 nochmal an.

Was an ihrer Lösung aber nicht stimmt: Ein 0.5 gibt es in Z3 nicht. Also nochmal nachrechnen, ist u.a ein Rechenfehler.