Hey in die Runde,

ich suche nach der Lösung zu folgendem Problem und hoffe auf ein wenig Hilfe des Schwarmwissens.

Basierend auf zwei gegebenen Punkten möchte ich die die Funktionsgleichung f(t)= a*(1-e^(-t/b)) allgemein lösen.

Gegeben sind also:

Punkt1: (t1|f(t1)) und Punkt2: (t2|f(t2)) woraus sich

f(t1) = a*(1-e^(-t1/b)) bzw. f(t2) = a*(1-e^(-t2/b))

Gesucht sind nun die allgemeinen Ausdrücke für a und b in Abhängigkeit der Punkte 1 und 2 in der Form

a = f(t1,t2,f(t1),f(t2))
b = f(t1,t2,f(t1),f(t2))

Die Umformungen, die ich bisher vorgenommen habe, führen nur zu keinen plausiblen Ergebnissen, sodass ich glaube, dass ich einen Fehler mache, den ich selbst aber nicht sehe. Hier mein Ansatz:

Lösen durch Quotientenverfahren:

(1) R = (1-e^(-t1/b)) / (1-e^(-t2/b)) mit R = f(t1) / f(t2)

(2) R * (1-e^(-t2/b)) = (1-e^(-t1/b))

(3) R - R*e^(-t2/b) = 1-e^(-t1/b)

(4) R - 1 = R*e^(-t2/b) - e^(-t1/b)

(5) ln(R-1) = ln(R) + ln(e^(-t2/b)) - ln(e^(-t1/b)) = ln(R) - t2/b + t1/b

(6) ln(R-1) - ln(R) = t1/b + t2/b

(7) b = (t1-t2)/(ln(R-1) - ln(R))

=> a = f(t1) / (1-e^(-t1/b))

Für eine Durchsicht und das Finden von falschen Annahmen/Umformungen bin ich sehr dankbar.