Ich habe folgende Aufgabe gegeben:
Der Endomorphismus \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) ist durch die Matrix
\( A=\left(\begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 0 \\
3 & 3 & 2 \\
-3 & -2 & -1
\end{array}\right) \)
gegeben.
Zeigen Sie, dass die nilpotente Abbildung \( g:=\left.(f-\mathrm{id})\right|_{H}: H \rightarrow H \) die Normalform \( J_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right) \) hat, und bestimmen eine Basis \( Y \) für \( H \), so dass \( M_{g, Y, Y} \) in Normalform ist.

Die Eigenwerte, Vielfachheiten und den Hauptraum habe ich schon bestimmt:
$\mathbb{Hau}(f,1)=Ker(A-E_3)^2)= \Biggl< \begin{pmatrix} 0\\1 \\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \Biggr>$

Mein Problem liegt jetzt bei der Abbildung \( g:=\left.(f-\mathrm{id})\right|_{H}: H \rightarrow H \). Ich kann mir nicht viel unter einer Einschränkung auf $H$ von einer Matrix vorstellen. Wie dem auch sei, ich suche zwei Basisvektorenm sodass ich $f-id$ als Darstellungsmatrix bzgl. eben diesen Vektoren schreiben kann und da soll eine $2x2$ Matrix rauskommen. Nun ist ein weiteres Problem, dass unser Verfahren zur Bestimmung der Jordan Normalform, eine symetrische Matrix voraussetzt. Also kann ich auch nicht einfach $H$ nehmen. Mir fehlt da aktuell einfach eine "Startmatrix".