Sei \(z=x+1\). Die Reihe kann nur konvergieren, wenn \( a_k:=\frac{z^{k^2}}{k^k}=(\frac{z^k}{k})^k \) eine Nullfolge ist, d.h. \( \lim\limits_{k\to\infty} (\frac{z^k}{k})^k =0 \). Das ist nur für \( z\in [-1,1] \) der Fall.

Nun verwenden wir das Quotientenkriterium:

\(\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{z^{{(k+1)}^2}k^k}{{(k+1)}^{k+1}z^{k^2}}=z^{2k+1}\cdot\frac{k^k}{(k+1)^{k+1}} \)
Es gilt \(\lim\limits_{k\to\infty}\frac{k^k}{(k+1)^{k+1}}=0\) und \(-1\leq \lim\limits_{k\to\infty}z^{2k+1}\leq 1\), da wir \( z\in [-1,1] \) annehmen können.

Das heißt \( \lim\limits_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}=0<1 \) und damit konvergiert \( \sum\limits_{k=1}^\infty a_k \) für \( x\in [-2,0] \) absolut.