Formal: $A(n)$ ist eine Aussage, ok.
Im Ind. Anf. ist $A(0)$ dann ein Term, oder eine Gleichung? Passt nicht. Prüfe die Gleichung nach und vor allem muss am Ende stehen, ob es erfüllt ist oder nicht.
Ind. Vor. lautet: $A(n)$ ist wahr für ein $n$.
Ind. Beh. lautet: $A(n+1)$.
Dein Ind.Schritt geht aber so nicht. Du kannst nicht einfach irgendein $m$ einführen, ohne es genau zu klären. Du definierst $m:=n+1$ (ohne es zu sagen, daher merkst Du es nicht) und schreibst dann die Beh. hin. Damit ist nichts bewiesen.
Tipp zum korrekten Vorgehen: Sei also $a^{2n+1}-a=6k$ für ein $k\in N$ laut Ind. Vor.. Dann gilt: $a^{2(n+1)-1}-a=...$. Forme so um, dass Du für $a^{2n+1}=a+k$ einsetzen kannst und prüfe, was übrig bleibt. Dieser Rest sollte durch 6 teilbar sein (ist es auch).