Beweis ε>0 n∈N+ mit 0< 1 <ε

Aufrufe: 664     Aktiv: 24.10.2021 um 11:00
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kann mir jemand bei dem Beweis helfen?
Zu jedem reellen ε>0 existiert ein n∈N+ mit 0< 1 <ε.
macht man das mit der vollständigen Induktion?
dann wäre ja IA: 0<1<ε
aber ε kann doch auch kleiner als 1 sein...

EDIT vom 24.10.2021 um 08:45:

Es soll 0<1/n< ε  heißen 
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Student, Punkte: 117

 
Fehlt da nicht irgendwo ein n in der Ungleichung? Meinst du vielleicht sowas wie das archimedische Axiom   ─   mathejean 23.10.2021 um 20:29
Ah ja tut mir leid dass soll 1/n sein   ─   anonymf76f7 24.10.2021 um 08:44
Habt ihr das archimedische Axiom oder das Supremumsaxiom in der Vorlesung gehabt? Oder habt ihr die reellen Zahlen mithilfe von Intervallschachtelung/Cauchyklassen definiert?   ─   mathejean 24.10.2021 um 09:14
Wir hatten supremum und infimum definiert aber ein axiom hatten wir dazu nicht   ─   anonymf76f7 24.10.2021 um 09:26
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1 Antwort
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Also vollständige Induktion funktioniert hier nicht, da du hier keine Aussage über alle natürlichen Zahlen hast, sondern eine Aussage über alle \(\varepsilon \in \mathbb{R}^+\). Da du weder das Supremumsaxiom noch das archimedische Axiom kennst, kann man diese Aussage jetzt streng formal garnicht beweisen. Wahrscheinlich wird hier einfach nur ein Beweis verlangt, wo du am Ende mit Intuition argumentierst. Da \(n \in \mathbb{N}\) ist \(0<\frac 1 n\) klar. Die Gleichung \(\frac 1n<\varepsilon\) kannst du erstmal mit \(n\) multiplizieren, jetzt hast du \(1<n \varepsilon\). Jetzt lautet die Aussage also, zu jedem \(\varepsilon \in \mathbb{R}^+\) findet man ein \(n \in \mathbb{N}\), sodass das Produkt \(n\varepsilon\) größer als \(1\). Intuitiv scheint diese Aussage klar. Sie ist auch eine direkte Konsequenz des archimedischen Axioms. Wenn dieser "Scheinbeweis" für dich nicht zufrieden ist, bräuchte ich nähere Informationen dazu, wie die reellen Zahlen genau definiert wurden. Vielleicht sprichst du auch hier mit deinem Übungsleiter und merkst an, dass diese Aussage nicht aus den Körper- und Anordnungsaxiomen folgt. Wenn du möchtest kann ich dir auch mal ein Beispiel für einen angeordnet Körper geben, der nicht archimedisch ist.
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Student, Punkte: 10.87K

 
Super danke für die tolle Erklärung!!!
Wir hatten die reelle Zahlen folgendermaßen definiert. Die reellen Zahlen sind der Angeordnete Körper R in dem jede nach oben beschränkte nichtleere Menge ein supremum hat   ─   anonymf76f7 24.10.2021 um 09:49
Genau der letzte Teil des Satzes ist das Supremumsaxiom ;D   ─   mathejean 24.10.2021 um 09:50
Achso oh… das war mir nicht bewusst   ─   anonymf76f7 24.10.2021 um 09:51
Du kannst hier jetzt mit einem Widerspruchsbeweis arbeiten   ─   mathejean 24.10.2021 um 09:51
Also müsste man beweisen, dass 1/n kein supremum hat… und da entsteht dann ein Widerspruch?   ─   anonymf76f7 24.10.2021 um 09:53
Angenommen es gibt ein \(\varepsilon >0\), sodass \(n\varepsilon \leq 1\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) ....   ─   mathejean 24.10.2021 um 09:58
Warum
nε≤1?   ─   anonymf76f7 24.10.2021 um 10:10
Achhh ne alles gut das ist ja der Widerspruch oder?   ─   anonymf76f7 24.10.2021 um 10:11
Das ist die Negation von \(1 < n\varepsilon\)   ─   mathejean 24.10.2021 um 10:11
Genau Widerspurchsbeweis!   ─   mathejean 24.10.2021 um 10:12
Ok danke… wie geht man denn dann weiter vor?   ─   anonymf76f7 24.10.2021 um 10:12
\(n\varepsilon\) ist dann durch \(1\) nach oben beschränkt. Nach dem Supremumsaxiom existiert dann eine kleinste obere Schranke \(S\) mit \(n\varepsilon \leq S\). Jetzt noch ein Schritt zum Widerspruch, siehst du ihn?   ─   mathejean 24.10.2021 um 10:16
Wenn man
nε≤1 durch n teilt hat man
ε≤1/n und das ist ein Widerspruch?   ─   anonymf76f7 24.10.2021 um 10:19
Nein, noch nicht direkt, da \(n\varepsilon \leq S\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) gilt, muss auch \((n+1)\varepsilon \leq S\) gelten, was folgt jetzt hieraus?   ─   mathejean 24.10.2021 um 10:21
(n+1)ε≤1 kann nicht sein?
   ─   anonymf76f7 24.10.2021 um 10:24
Ja, genau, dies liegt daran, dass \((n+1)\varepsilon \leq S \Leftrightarrow n\varepsilon \leq S-\varepsilon\). Da \(\varepsilon >0\) ist, ist \(S-\varepsilon\) eine kleinere obere Schranke von \(n\varepsilon\) als \(S\), im Widerspruch dazu, dass \(S\) die kleinste obere Schranke ist.   ─   mathejean 24.10.2021 um 10:28
Versuch das am besten mal alles sauber aufzuschreiben und jeden einzelnen Schritt nachzuvollziehen, die Argumentation ist eigentlich sehr einfach, nur es fehlt manchmal die Idee   ─   mathejean 24.10.2021 um 10:29
Warum hat man denn S-ε?   ─   anonymf76f7 24.10.2021 um 10:29
Das sind einfach nur algebraische Umformungen. Ausklammern liefert \((n+1)\varepsilon=n\varepsilon +\varepsilon\). Anschließend rechnest du auf beiden Seiten von \(n\varepsilon +\varepsilon \leq S\) einfach \(-\varepsilon \).   ─   mathejean 24.10.2021 um 10:32
Oder hast du nicht verstanden woher das \(S\) kommt?   ─   mathejean 24.10.2021 um 10:40
Ah doch jetzt habe ich es danke danke danke danke!!! Wirklich danke für die ganze Mühe das war sehr sehr hilfreich   ─   anonymf76f7 24.10.2021 um 10:59
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Sehr gerne! Freut mich das du es verstanden hast   ─   mathejean 24.10.2021 um 11:00

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