Grenzwert von x*cos(x)

Aufrufe: 908     Aktiv: 13.12.2020 um 19:48
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\(\lim x * cos x\)

mit x gegen unendlich

Ein Grenzwert soll berechnet werden, wenn er existiert.

Mir ist klar das die cos-Funktion im unendlichen zwischen -1 und 1 pendelt und das der Faktor x gegen unendlich eben die Amplitude auch ins unendliche laufen lässt. Ein Grenzwert exisitiert also nicht. Ist es korrekt, das die Funktion divergiert? Das was mir nicht klar ist, ist wie ich die Aufgabe mit dem Wissen lösen kann. Einfach schreiben Grenzwert existiert nicht? Ich bin davon ausgegangen, das ich das mit dem Limes zeigen muss aber mir ist nicht ganz klar wie das auszusehen hat.

Vielleicht hat ja jamend Lust mir zu zeigen wie das geht.

VG

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Du hast den Sachverhalt zutreffend beschrieben. das sollte m.E. reichen.

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Vielen Dank für deine Zeit. irgendwie hatte ich mir eine mehr mathematische Lösung erhofft aber wenn man die Funktion dann noch aufzeichnet denke ich sollte das wohl so passen. Danke und schönen Abend noch   ─   terranic 13.12.2020 um 19:24

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Dass der Grenzwert \( \lim_{x \to \infty} x \cos(x) \) existiert, bedeutet ja gerade, dass für jede Folge \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( \lim_{n \to \infty} a_n = \infty \) der Grenzwert \( \lim_{n \to \infty} a_n \cos(a_n) \) existiert und immer gleich ist.

Formal könnte man es also so machen:

Wir betrachten die Folgen \( (2\pi n)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( (\pi+2 \pi n)_{n \in \mathbb{N}} \).

Es gilt \( \lim_{n \to \infty} 2 \pi n = \infty \) und \( \lim_{n \to \infty} \pi + 2 \pi n = \infty \).

Da aber die Grenzwerte \( \lim_{n \to \infty} (2 \pi n) \cos(2 \pi n) = \lim_{n \to \infty} 2 \pi n = \infty \) und \( \lim_{n \to \infty} (\pi + 2 \pi n) \cos(\pi + 2 \pi n) = \lim_{n \to \infty} -(\pi + 2 \pi n) = - \infty \) verschieden sind, kann der Grenzwert \( \lim_{x \to \infty} x \cos(x) \) nicht existieren.

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