Sei \(r\) der Radius der Grundfläche und \(h\) die Höhe des gesuchten Zylinders.

Für die Oberfläche gilt \( O = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h \) und für das Volumen \( V = \pi r^2 h \).

Laut Aufgabenstellung gilt \( O = 50 \), also \( 2 \pi r^2+2 \pi rh = 50 \Leftrightarrow 2 \pi rh = 50 - 2 \pi r^2 \Leftrightarrow h = \frac{25 - \pi r^2}{ \pi r} \).

Für das Volumen (in Abhängigkeit von \(r\)) gilt somit \(V(r) = \pi r^2 (\frac{25 - \pi r^2}{ \pi r}) = 25r - \pi r^3\).

Wir möchten das Volumen maximieren. Dazu suchen wir kritische Stellen für Extrema. Es gilt

\( V^{\prime}(r)=25-3 \pi r^2\)

Wir setzen die Ableitung gleich Null und erhalten \(25-3 \pi r^2=0 \Leftrightarrow -3 \pi r^2 =-25 \Leftrightarrow r^2 = \frac{25}{3\pi} \Leftrightarrow r = \pm \frac{5}{ \sqrt{3 \pi}}\).

Da wir einen Zylinder suchen können wir uns auf die positive Lösung \( r = \frac{5}{ \sqrt{3 \pi}}\) als kritischen Punkt beschränken.

Nun prüfen wir, ob an der kritischen Stelle tatsächlich ein Maximum vorliegt. Es gilt

\(V^{\prime \prime}(r) = -6 \pi r\)

Es ist offensichtlich, dass für positive Werte von \(r\) die zweite Ableitung stets negativ ist, insbesondere für \( r = \frac{5}{ \sqrt{3 \pi}}\). Es liegt dort also tatsächlich ein Maximum vor.

Nun setzen wir diesen Wert in die oben hergeleitete Gleichung \( h = \frac{25-\pi r^2}{\pi r}\) ein und erhalten

\( h = \frac{25-\pi \left( \frac{5}{ \sqrt{3 \pi}} \right)^2}{\pi \frac{5}{ \sqrt{3 \pi}}} = \frac{25-\pi \frac{25}{3 \pi}}{\frac{5 \sqrt \pi}{\sqrt{3}}} = \frac{25 - \frac{25}{3}}{\frac{5 \sqrt \pi}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{25}{2}}{\frac{5 \sqrt \pi}{ \sqrt 3}} = \frac{25}{2} \cdot \frac{\sqrt 3}{5 \sqrt \pi} = \frac{5 \sqrt 3}{2 \sqrt \pi}\)

Der Zylinder mit Grundflächenradius \( r = \frac{5}{\sqrt{3 \pi}}cm \) und Höhe \( h = \frac{5 \sqrt 3}{2 \sqrt \pi}cm \) hat also maximales Volumen bei einer gegebenen Oberfläche von \(50 cm^2\).