Der Radius in dem Kreis, der zum Berührpunkt führt (das heißt die Strecke), muss senkrecht zur Tangente sein. Die Tangente hat die Steigung 2, also muss der Radius die Steigung -1/2 haben. Du musst also an den Mittelpunkt (-3|1) einen Vektor der Form `(-2a|a)` und der Länge 2 antragen, um zum Berührpunkt zu kommen. Wenn du diesen hast, bekommst du n raus, indem du die Koordinaten des Berührpunkts in die Geradengleichung einsetzt.

Es gibt zwei Berührpunkte, je nachdem, ob du a postitiv oder negativ wählst.

Habt ihr die Hesse-Normalform zur Abstandsberechnung in der Ebene gemacht? Dann hätte ich die folgende Alternative: Bestimme erst n so, dass die Gerade durch den Punkt P geht. Bestimme dann mit Hilfe der HNF die zwei Geraden, die zu dieser parallel sind und den Abstand 2 haben.

Ich habe es jetzt nicht ganz durchgerechnet, weiß daher nicht 100% ob es so funktioniert, aber vielleicht gibt es einen Ansatz:

1. Ist eine Gerade Tangential zum Kreis, so verläuft der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Vektor \( \vec{MP} \), wobei \( P \) der Tangentialpunkt ist. Du kannst anhand der gegebenen Geradengleichung den Richtungsvektor der Gerade bestimmen. Dieser lautet \( (1,2) \). Demzufolge suchst du einen Vektor, der dazu orthogonal ist. Da gäbe es 2 mögliche Vektoren \( (-2,1) \) und \( (2,-1) \)

2. Jetzt kannst du den Tangentialpunkt berechnen, in dem du eine Linearkombination aus dem Kreismittelpunkt und dem eben bestimmten Vektor zum Kreisrand bildest. Da der Radius 2 ist, muss die Länge des Vektors auf die 2 normiert werden. Die aktuelle Länge beider Vektoren ist \( |(-2,1)| = |(2,-1)| = \sqrt{5} \). Du bekommst einen Vektor der Länge 2 durch skalieren: \( \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot (2,-1)^T \). Nun gilt: \( P_1 = (-3,1)^T + \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot (2,-1)^T \).

Bem.: Mit dem anderen Vektor fühst du das auch noch durch und erhältst so deinen 2. Tangentialpunkt \( P_2 = (-3,1)^T + \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot (-2,1)^T \)

3. Die so ermittelten Punkte \( P_1 \) und \( P_2 \) setzt du in deine Geradengleichung ein und bestimmst damit deine Werte für \( n \).