Signum Permutation

Aufrufe: 466     Aktiv: 10.11.2020 um 21:51
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Hi! Habe leider die Vorlesung zu dem Thema verpasst und jetzt komme ich so gar nicht mehr klar.. Meine Aufgabe lautet:

Gegeben sei eine Permutation σ der Menge {1, 2, . . . , n}.

Zeigen Sie sgn(σ) = det(M(σ)), wobei M(σ) die (n × n)-Matrix bezeichnet, deren i-te Spalte der σ(i)-te Standardbasisvektor des R^n ist.

Ich kann mir überhaupt nichts darunter vorstellen. Wie gehe ich da ran? Was wäre die Lösung?

Liebe Grüße

 

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Herangehen tut man sinnvollerweise, indem man sich ein Beispiel anschaut. Nimm also n=3, eine Permutation, schreibe die Matrix M dazu hin und berechne die Determinante. Prüfe die Behauptung an diesem Beispiel nach. Arbeite dich Schritt für Schritt durch die Angaben. Wer bei neuen Aufgaben erwartet, gleich die Lösung von Anfang bis Ende zu sehen, schafft sich nur Frusterlebnisse.

Eventuell nötige Begriffe findest du hier https://de.m.wikipedia.org/wiki/Permutation, 

dort unter "Definition" und "Kenngrößen/Vorzeichen".

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Lehrer/Professor, Punkte: 39.12K

 
Danke! Habe jetzt als Beispiel n=3 genommen. Ich bekomme dann:
σ=(1 2 3) sgn(σ)= 1= det(A), wobei A= (1 0 0 )^T, (010)^T, (001)^T damit habe ich gezeigt, dass es für n=3 wahr ist. Wie verallgemeinert man denn sowas? Da habe ich immer so die größten Schwierigkeiten
   ─   lululala690 10.11.2020 um 19:27
Ah ok! Beim vertauschen von zwei Zeilen ändert sich das Vorzeichen der Determinante. D.h. det=(-1)^s, wobei s Anzahl der Zeilen/Spaltentauschungen wäre und das wäre dann =sgn(σ), sehe ich das jetzt richtig?   ─   lululala690 10.11.2020 um 21:40

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