Abbildungsmatrix

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Kann mir jemand erklären, warum man bei c) keine Abbildungmatrix bestimmen kann. Es ist nicht linear, aber wieso? Meine Überlegung dazu ist: 

 

Kann ich allgemein sagen: Wenn die Standarbasisvektoren sich nicht durch die anderen Vektoren darstellen lassen, dass es dann nicht linear ist?

 

gefragt 1 Tag, 6 Stunden her
anonym
Punkte: 98

 

Was ist denn die Abbildung in Aufgabe c)? Ich sehe hier nur, was die Bilder der Basisvektoren sind.   ─   slanack 1 Tag, 6 Stunden her

Die Abbildung ist linear. Eine lineare Abbildung ist durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt.   ─   anonym 1 Tag, 4 Stunden her

Upps, sry, ich habs jetzt hochgeladen :)   ─   anonym 1 Tag, 4 Stunden her

stal hat unten dazu die korrekte Antwort gegeben.   ─   slanack 1 Tag, 3 Stunden her
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1 Antwort
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Die Abbildung bei c) ist nicht linear. Das kann man intuitiv "sehen", da zwei Variablen multipliziert werden, was normalerweise nicht linear ist. Um das formal zu zeigen, reicht es ein Gegenbeispiel anzugeben. Es gilt z.B. $$f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right)+f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right)=\binom00+\binom 01\neq\binom21=f\left(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right)=f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right).$$

geantwortet 1 Tag, 3 Stunden her
stal
Punkte: 1.13K
 

wie bist du auf (2 1) gekommen?   ─   anonym 1 Tag, 3 Stunden her

$$f\left(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right)=\binom{2\cdot1\cdot1}{1+0}=\binom21.$$ Einfach in die Definition einsetzen.   ─   stal 1 Tag, 3 Stunden her

Okay, danke. Aber wieso addierst du (1 0 0) und (0 1 0) ?   ─   anonym 1 Tag, 3 Stunden her

Wie kann ich bei solchen Aufgaben allgemein vorgehen? Gibts da eine Vorgehensweise, die ich bei jeder Rechnung immer anwenden kann   ─   anonym 1 Tag, 3 Stunden her

Zuerst solltest du ein Gefühl dafür entwickeln, dass wegen der Multiplikation die Funktion vermutlich nicht linear ist. Danach musst du nur noch ein Gegenbeispiel finden, dazu funktioniert eigentlich ganz gut, einfach Sachen auszuprobieren. Man kann sich natürlich noch überlegen, dass sowohl \(x\) als auch \(y\) nicht 0 sein sollten, damit das Produkt überhaupt etwas zum Ergebnis beitragen kann. Das schränkt die Möglichkeiten ein, die man ausprobieren kann. Wenn du einfach zwei zufällige Vektoren nimmst, ist die Wahrscheinlichkeit sehr hoch, dass die Linearität nicht aufgeht.   ─   stal 1 Tag, 3 Stunden her

Ja, aber ich erkenn das nicht. Wie hast dus direkt erkannt, dass die Fkt. nicht linear ist? Da x und y multipliziert werden?   ─   anonym 1 Tag, 3 Stunden her

und ist in dem Fall die lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit gemeint?   ─   anonym 1 Tag, 3 Stunden her

Also welche bedingung muss gelten, damit´s linear ist?   ─   anonym 1 Tag, 2 Stunden her

schau die definition von "lineare abbildung" nach, dort steht es.   ─   anonym 1 Tag, 1 Stunde her

Also ich hab da mal was hochgeladen. Stimmt´s jetzt? Ich muss immer überprüfen, ob ich die Ausgangsmatrix bekomme quasi..   ─   anonym 1 Tag, 1 Stunde her

Dann ist es linear.. ich hoffe, dass es diesmal mit dem Verständnis passt @anonym @stal   ─   anonym 1 Tag, 1 Stunde her

Also c und d sind nicht linear   ─   anonym 1 Tag, 1 Stunde her

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Da c und d linear sind, solltest du gar nicht erst versuchen, eine Abbildungsmatrix aufzuschreiben, sondern einfach zeigen, dass die Abbildung nicht linear ist. Eine Abbildung \(f:V\to W\) zwischen zwei \(K\)-Vektorräumen ist genau dann linear, wenn für alle \(v,w\in V,\lambda\in K\) gilt ,dass $$f(v+w)=f(v)+f(w)\quad\text{ und }f(\lambda\cdot v)=\lambda\cdot f(v).$$ In meiner Antwort habe ich nachgewiesen, dass die erste Bedingung bei c nicht erfüllt ist.
Dein Ansatz ist nicht grundsätzlich falsch, du müsstest nur viel mehr dazuschreiben. Du könntest sagen: Angenommen, \(f\) ist linear, dann ist die Abbildung durch die Bilder der Standardbasis eindeutig festgelegt ((1,0,0)=(0,0) etc. ist übrigens falsch, es müsste f((1,0,0))=(0,0) heißen), dann wäre das die Abbildungsmatrix, aber das ist nicht das gleiche wie die gegebene Funktion, also ist die Abbildung nicht linear. Das ist aber sehr umständlich.
  ─   stal 1 Tag, 1 Stunde her

Aber ich hab doch gezeigt, dass die Abbildung nicht linear ist. Würde aber mein Rechenweg reichen, um zu zeigen, dass die Abbildungen nicht linear sind?   ─   anonym 1 Tag, 1 Stunde her
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