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Falls dich diese Videos und der Kommentar von Math Stories noch nicht zum Verständnis geführt haben, dann versuch vielleicht nochmal deine Frage etwas zu spezifizieren. Denn ich denke auch, dass das Video von 3blue1brown es schon sehr gut und anschaulich erklärt, aber vielleicht fehlt dir noch ein kleines Puzzlestück um es ganz zu verstehen.
Was verstehst du denn bis jetzt unter \( e^{i \varphi} \)? Du hast den Bezug zum Einheitskreis verstanden, kannst du das dann übertragen auf \( e^z \)?
Vielleicht noch eine Ergänzung (ich weiß nicht ob es in einem der Videos vorkommt) zum Unterschied zwischen reellwertigen Funktionen und komplexwertigen Funktionen. Bei reellwertigen Funktion bilden wir einen \(x\)-Wert ab und erhalten einen \( y\)-Wert. Wir setzen also zwei Koordinaten in Bezug. Daraus lässt sich geometrisch sowas wie ein Graph konstruieren.
Bei komplexwertigen Funktionen setzen wir einen ganzen Punkt ein. Wir erhalten also keinen Zusammenhang mehr zwischen den Koordinaten des Punktes, weil beide Koordinaten mit in die Funktion fließen. Was wir hier haben, ist eine Zuordnung von einem Punkt zu einem anderen Punkt. Punkt werde also durch komplexwertige Funktionen verschoben, gedreht, ...
Würden wir hier sowas wie einen "Graphen" konstruieren wollen, hätten wir eher ein Richtungsfeld.
Dazu vielleicht auch nochmal ein Video von 3blue1brown: https://www.youtube.com/watch?v=v0YEaeIClKY
In diesem Video visualisiert er mehr. Finde ich sehr hilfreich, weil man sich das ganze eben geometrisch überlegen kann.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Ich hab leider erst jetzt bei dir eine Benachrichtigung bekommen und erst jetzt auch den Kommentar von Math Stories gelesen. Sein Kommentar hat bei mir den entscheidenden Denkanstoß gegeben. Ich hab den Anfang des Videos von 3Blue1Brown, das ich eingangs verlinkt habe, nie "ernst genommen". Da zeigt er eig genau das, aber ich dachte, das sei mehr eine Spielerei. So kann man sich irren...
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akimboslice
25.05.2021 um 21:35
Ist doch schön dass du es jetzt verinnerlicht hast. Die wenigsten haben das. Das wird dir sehr weiterhelfen :) Freut mich!
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christian_strack
25.05.2021 um 23:33
Deswegen auch \(exp(i) =\sum_n \dfrac{i^n}{n!}\) ─ math stories 20.05.2021 um 22:21