Das geht viel einfacher. Es sei \(\vec{n}=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\\n_4\\\end{pmatrix}\neq \vec{0}\) der Normalenvektor, der senkrecht auf \(\vec{a} =\begin{pmatrix} - 4 \\ 1 \\ - 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} =\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \) stehen soll. Dann gilt \(\vec{a} \cdot \vec{n} =0\) und \(\vec{b}\cdot \vec{n} =0\). Eingesetzt erhält man damit die Gleichungen \(-4n_1+n_2-3n_3=0\) und \(n_1-4n_3+n_4=0\). Durch einfaches Nachrechnen kann man zeigen, dass \(\vec{n}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \\ - 1 \end{pmatrix} \) eine mögliche Lösung ist (bitte selbst nachrechnen!). 

Das Gram-Schmidt-Verfahren ist hier unnötig kompliziert. 

Kennst du das Kreuzprodukt?

Hast du zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) dann liefert dir das Kreuzprodukt einen dritten Vektor \(\vec{c}\), der orthogonal zu den beiden Vektoren steht.

Geschrieben als

\(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}\)

Hier ein Bild der Berechnung für 3D-Vektoren:

Vielleicht helfen diese Videos? Bin mir selber nicht sicher, aber damit könnte es gehen.