Exponentielles Wachstum: alle X Tage...

Erste Frage Aufrufe: 462     Aktiv: 15.10.2022 um 19:40
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Eine Algenart vermehrt sich so stark, dass sich die beim See betroffene Fläche alle 3 Tage verdoppelt. 7 Tage nach Entdeckung des Algenbefalls sind 100 m² des Sees bedeckt. Stelle die Gleichung einer Funktion auf, die das Algenwachstum beschreibt und berechne, wie groß die Fläche zur Zeit der Entdeckung des Befalls war.

Hoffentlich kann mir dabei jemand helfen.

Vielleicht auch bei der Zusatzfrage: Kann man den Sachzusammenhang auch mit einer e-Funktion beschreiben?

EDIT vom 15.10.2022 um 13:54:

Hi, sorry, ich hätte schonmal schreiben sollen, wie weit ich bin. Hier mal, was ich gemacht habe:
Als Ausgang habe ich die Funktion f(x) = a * b^x genommen
Da es sich immer verdoppelt wäre b=2 und da es alle sicvh alle drei Tage vermehrt dachte ich an 1/3x .
Also f(x) = a * b^1/3x
Dann habe ich für f(x)= 100 und für x = 7 eingesetzt und bin so auf a = 19,84 gekommen. 
Demnach wäre die Gleichung f(x)=19,84*2^1/3x
Wenn man also x=1 einsetzt kommt man auf ca. 25.

Nun war ich mir aber nicht wirklich sicher, ob der Ansatz so überhaupt richtig ist.

EDIT vom 15.10.2022 um 14:01:

Auf die Zusatzfrage bezogen habe ich dann folgendes probiert:
ich habe f(x)= 19,84*2^1/4x in f(x)= 19,84*e^k*1/4x umgewandelt und versucht k auszurechnen.
Dafür habe ich e^k = 2 gesetzt und den natürlichen Logarithmus angewandt (k = ln(2))
Also wäre die Gleichung f(x) = 19,84 * e^ln(2)*(1/4x)
Wenn ich dann x = 1 einsetzte, komme ich aber nur auf 23,59.
 
Irgendwo liegt dann wahrscheinlich ein Fehler, den ich aber nicht finde...

EDIT vom 15.10.2022 um 14:03:

Bin soeben doch selbst drauf gekommen. Ich weiß nicht, wie aus 1/3 1/4 werden konnte, aber mit 1/3 klappt ja alles...
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Herzlich Willkommen auf mathefragen.de!

Hast du denn bereits selbst etwas versucht? Sinn des Forums ist es nicht deine Aufgaben für dich zu lösen. Gerade mit dem Hinweis des Sachzusammenhangs mit der Exponentialfunktion kann man ja mal versuchen einen Anfang zu machen.

Zu deiner Frage, wenn man die Fläche die von der Alge bedeckt wird in funktionalen Zusammenhang zur Zeit setzt dann erhält man als allgemeine Form:
\[A(n)=A_0\cdot q^n\]

Dabei ist $A_0$ der Startwert und $q$ der sogenannte Wachstumsfaktor. Nun musst du mit Hilfe deiner ersten Bedingung dein $q$ ermitteln. Was erhält man denn für $A(3)$? Wenn du dein $q$ kennst, kannst du die zweite Bedingung verwenden um dein $A_0$ auszurechnen. Dann kennst du die Funktionsgleichung zum zugehörigen Prozess. Nun fang einfach mal an und wenn du nicht weiterkommst, poste deinen Fortschritt und wir sehen weiter.

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Zu deinem Edit, erstmal sehr gut das du deine Überlegungen mit hochlädst👍
Wo dein erster Denkfehler liegt ist mit $b=2$. Es verdoppelt sich ja nicht jeden Tag sondern immer alle drei Tage. Danach wird der Rest auch nicht mehr richtig. Es ist $A(3)=2\cdot A_0$. Setze das mal in die linke Seite der Gleichung ein mit $n=3$ auf der Trachten Seite und dann löse die Gleichung nach $q$. Auf was kommst du?   ─   maqu 15.10.2022 um 14:08
Hey, ich verstehe gerade noch nicht so ganz, wo genau ich n = 3 einsetzen soll, beziehungsweise wie ich mit A0 rechnen soll...   ─   user9c3a91 15.10.2022 um 14:51
In die Gleichung aus meiner Antwort einsetzen. Das $A_0$ kürzt sich heraus wenn man dadurch teilt. Übrig bleibt als Variable dann nur noch $q$ wonach du dann umstellen kannst. Ist dir klar wie ich das meine?   ─   maqu 15.10.2022 um 15:08
Also A0*q^3 = 2*A0 ? Was dann wie du schon angedeutet hast zu q^3=2 wird?   ─   user9c3a91 15.10.2022 um 15:30
Richtig👍 Dann erhältst du im nächsten Schritt also $q=\ldots$?   ─   maqu 15.10.2022 um 15:54
q wäre dann die 3. Wurzelvon 2, also ca. 1,259   ─   user9c3a91 15.10.2022 um 16:05
Richtig, so jetzt wo du $q$ kennst kannst du dieses in die Gleichung einsetzen und benutzt deine zweite Bedingung um damit dann dein Anfangswert $A_0$ zu ermitteln.   ─   maqu 15.10.2022 um 16:43
Wenn ich q einsetze bekomme ich für A0 ca. 19,944 raus. In der Gleichung wäre das dann ja f(x)=19,944*1,259^x.
Somit wäre es für x=1 dann 25,109. Liege ich da richtig?   ─   user9c3a91 15.10.2022 um 16:53
Das sieht soweit alles richtig aus. Nur ist meines Erachtens nach $A_0$ in der Aufgabenstellung gefragt. Für $x=1$ ist der Befall ja bereits einen Tag vorangeschritten. Tag Null ist damit der Tag an dem der Befall entdeckt wurde.   ─   maqu 15.10.2022 um 17:08
Ach stimmt, das ist logisch. Magst du mir noch einmal sagen, ob mein Ansatz für die Zusatzaufgabe richtig war? Die Werte muss ich natürlich dementsprechend anpassen. Dann habe ich die Aufgabe auch endlich verstanden. Vielen Dank schonmal!   ─   user9c3a91 15.10.2022 um 17:15
Ja das mit dem $x=e^{\ln(x)}$ Trick kannst du das machen. Ich würde dann bloß für $q$ genauer $\sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}$ schreiben, damit du nach dem Trick mit Hilfe der Logarithmengesetze den Term besser umschreiben kannst.   ─   maqu 15.10.2022 um 17:38
Alles klar, vielen Dank für deine Hilfe!   ─   user9c3a91 15.10.2022 um 19:37
Immer gern :)   ─   maqu 15.10.2022 um 19:40

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