Wenn \( \frac{\vert a_{n+1}-a_n \vert }{\vert a_n-a_{n-1} \vert} < q \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt, dann folgt somit \( \vert a_{n+1}-a_n \vert < q^n \vert a_1-a_0 \vert \) (das kann man leicht per Induktion herleiten). Daraus erhält man dann (für \( i > j \)) die Abschätzung
\( \vert a_i - a_j \vert \) \( = \vert \sum_{n=j}^{i-1} a_{n+1} - a_n \vert \) \( \le \sum_{n=j}^{i-1} \vert a_{n+1} - a_n \vert \) \( < \sum_{n=j}^{i-1}  q^n \vert a_1 - a_0 \vert  \) \( = \vert a_1 - a_0 \vert \sum_{n=j}^{i-1} q^n \) \( < \vert a_1 - a_0 \vert \sum_{n=j}^{\infty} q^n \)
Und wenn nun \( 0<q<1 \) ist, dann wird der Ausdruck \( \sum_{n=j}^{\infty} q^n \) für hinreichend großes \(j\) beliebig klein, und somit wird auch die Differenz \( \vert a_i - a_j \vert \) beliebig klein. Das heißt, dass \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Cauchyfolge ist und somit konvergiert.