Abschätzung

Aufrufe: 687     Aktiv: 21.10.2021 um 20:55
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Wie kann man den Ausdruck t^(s-1)*e^-t geeignet abschätzen? s aus R
Und noch wichtiger wie geht man überhaupt beim Abschätzen vor? Gibt es da eine Art Vorgehen?
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Ich würde gerne zeigen, dass das Integral von 0 bis 1 über die oben genannte Funktion für alle s>0 mit s in R definiert ist. Und dementsprechend würde ich den Ausdruck gerne von oben und unten deckeln und dann eine Fallunterscheidung machen. Oder ist dieser Ansatz komplett falsch?   ─   matheistcool753 21.10.2021 um 11:52
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1 Antwort
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Das ist eine komische Aufgabe.
Der Term \(e^{-t}\) ist monoton fallend. Also kannst du ihn für alle \(t\in [0;1]\) abschätzen durch \(e^0=1\) (obere Schranke), beziehungsweise durch \(e^{-1}\) (untere Schranke).
Analog ist der Term \( t^{s-1} \) für alle Werte \(s < 1\) streng monoton fallend, für \(s=1\) konstant und für \( s > 1\) streng monoton steigend. Du kannst also wieder für \(t\in [0;1]\) die Intervallgrenzen einsetzen und hast somit obere und untere Schranken. Und diese Schranken sind zufällig die Konstanten \(0\) und \(1\).
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Aber reicht es nicht nur den e-Term abzuschätzen, weil der ja sowieso dominiert?   ─   matheistcool753 21.10.2021 um 14:33
Nein. Der e-Term dominiert nicht und selbst wenn er es täte, kannst du bei einer Multiplikation (anders als bei einer Summe), daraus nicht die Beschränktheit des Integrals folgern.   ─   cunni 21.10.2021 um 15:45
Nehme beispielsweise die Funktionen \(f(x):= x^{-\frac{1}{3}}\) und \(g(x):= x^{-\frac{2}{3}}\) mit Definitionsbereich \([0;1]\). Dann existieren beide Integrale \(\int_0^1 f(x) dx =\frac{3}{2}\), \(\quad\int_0^1 g(x) dx =3\).
Außerdem "dominiert" \(g\), denn \(\forall x\in [0;1]: f(x) \leq g(x) \)
Das Integral über das Produkt lautet allerdings \(\int_0^1 f(x)\cdot g(x) dx =\int_0^1 \frac{1}{x} dx =\infty \)   ─   cunni 21.10.2021 um 15:52

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