Wenn keine Anforderung an den Beweis vorgegeben ist, würde ich es mir relativ einfach machen:
Es gilt ja allgemein: \(f_n\) stetig, \(f_n\to f\) gleichmäßig \(\Longrightarrow\) \(f\) stetig.
Du hast \(f\) berechnet und es ist offensichtlich nicht stetig. Die \(f_n\) sind aber alle stetig, also kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein (nur punktweise).
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Angenommen, die Konv wäre glm, dann gäbe es zu \(\varepsilon=\frac13\) ein \(n_0\), so dass für alle \(x\) und alle \(n\ge n_0\) gelten würde: \(|f_n(x)-f(x)|<\frac13 \). Also auch für \(x>1\) (diesen Teilbereich nehmen wir jetzt). Dann \(|f_n(x)-f(x)|<\frac13 \iff x^{2n}>2\) für alle \(x>1, n\ge n_0\), also auch \(x^{2n_0}>2\) für alle \(x>1\).
Sei nun \(x:=\sqrt[2n_0]{1.5}\), was zweifellos \(>1\) ist. Dann ist aber für dieses \(x\): \(x^{2n_0}=1.5 \not >2\), Widerspruch. ─ mikn 1 Woche, 2 Tage her
Ich bin leider noch nicht so weit in der Vorlesung. ─ smila 1 Woche, 2 Tage her