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Hallo ,

in meiner Aufgabenstellung muss ich zeigen, dass eine Funktionsfolge nicht gleichmäßig konvergiert. Ich bin mir nicht sicher ob mein Ansatz richtig ist und wie ich weiter vorgehen soll. Ich würde mich freuen wenn mir Jemand weiter helfen könnte.

fn(x) = 1/(1+x^2n)

So wie ich es verstanden habe, muss man zeigen  |fn(x) - f (x)|>=  Epsilon.

Die Grenzfunktion ist nach meiner Rechnung: f(x)= 1/2 (für x=1), 1 (für |x|<1), 0 (für |x|>1)

Ich weiß nicht ob das so richtig ist oder ob ich das als eine  einzige Funktionsgleichung bestimmen muss? 

Müsste ich dann die Aussage 3 mal für die verschiedenen Definitionsbereiche beweisen? 

 

 

 

gefragt 1 Woche, 2 Tage her
smila
Punkte: 18

 
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1 Antwort
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Wenn keine Anforderung an den Beweis vorgegeben ist, würde ich es mir relativ einfach machen:
Es gilt ja allgemein: \(f_n\) stetig, \(f_n\to f\) gleichmäßig \(\Longrightarrow\) \(f\) stetig.

Du hast \(f\) berechnet und es ist offensichtlich nicht stetig. Die \(f_n\) sind aber alle stetig, also kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein (nur punktweise).

geantwortet 1 Woche, 2 Tage her
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 9.9K
 

Vielen Dank für Ihre Antwort !
Ich bin leider noch nicht so weit in der Vorlesung.
  ─   smila 1 Woche, 2 Tage her

Wenn der Satz in der Vorlesung schon dran war (egal, ob Du schon so weit nachgearbeitet hast), dann darfst Du ihn benutzen. Sollst Du einen Beweis mit \(\varepsilon\) liefern?   ─   mikn 1 Woche, 2 Tage her

wir haben mit dem Thema Stetigkeit noch nicht angefangen. Im Skript ist das schon angeführt. Ich denke, dass ich den Beweis mit Epsilon liefern muss.   ─   smila 1 Woche, 2 Tage her

Dann wird der Beweis recht technisch. Da wir aber die glm Konv widerlegen wollen, brauchen wir das nur mit einem Teilbereich der x zu tun.
Angenommen, die Konv wäre glm, dann gäbe es zu \(\varepsilon=\frac13\) ein \(n_0\), so dass für alle \(x\) und alle \(n\ge n_0\) gelten würde: \(|f_n(x)-f(x)|<\frac13 \). Also auch für \(x>1\) (diesen Teilbereich nehmen wir jetzt). Dann \(|f_n(x)-f(x)|<\frac13 \iff x^{2n}>2\) für alle \(x>1, n\ge n_0\), also auch \(x^{2n_0}>2\) für alle \(x>1\).
Sei nun \(x:=\sqrt[2n_0]{1.5}\), was zweifellos \(>1\) ist. Dann ist aber für dieses \(x\): \(x^{2n_0}=1.5 \not >2\), Widerspruch.
  ─   mikn 1 Woche, 2 Tage her

Vielen lieben Dank ! Ich habe das jetzt verstanden.   ─   smila 1 Woche, 2 Tage her

Freut mich, gern geschehen.   ─   mikn 1 Woche, 2 Tage her
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