Wenn $Q$ bekannt als dicht in $R$ ist:
Setze $h:=f-g$ (einfacher zu schreiben). Sei nun $x\in R$, da $Q$ dicht in $R$ ist, gibt es eine Folge $q_n\in Q$ mit $q_n\to x$. Da $h$ stetig ist, folgt $h(q_n)\to h(x)$. Es gilt aber $h(q_n)=f(q_n)-g(q_n)=0$ nach Vor., also ist $0=h(x)=f(x)-g(x)$, fertig.

Wenn man das Wort "dicht" vermeiden will, hier eine anschauliche Idee:
$x\in R$ bedeutet, $x$ hat eine Dezimaldarstellung (die bekanntlich nicht-periodisch und nicht-abbrechend sein kann). Die obige Folge $q_n$ kann dann so konstruiert werden:
$q_n$ hat die Dezimaldarstellung von $x$, aber abgebrochen nach der $n$-ten Stelle hinter dem Komma. Dann erfüllt $q_n$ das im Beweis verlangte.
Z.B. $x=\sqrt2$: $q_1=1.4, q_2=1.41, q_3=1.414, q_4=1.4142, q_5=....$

PS: Jetzt hast Du den kompletten Beweis, das mache ich normalerweise hier nicht. Hab aber den Eindruck, Du hast Dich mit der Aufgabe selbst schon seriös beschäftigt (was hier im Forum bei den Fragern nicht so oft vorkommt).