Induktionsschluss Fakultät Äquivalenzumformung

Aufrufe: 228     Aktiv: 06.02.2024 um 08:50
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Beim induktionsschluss n + 1 komme ich einfach nicht weiter bei folgendem Beispiel. Ich habe versucht alle Alternativformen zu betrachten und komme einfach nicht weiter bei der linken Seite der Gleichung.
Was ist n! * n ? Oder ist mir schon vorher ein Fehler unterlaufen?

 



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4 Antworten
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Hallo,
hier ist der Induktionsbeweis.
ich hoffe, er ist verständlich. :-)

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@deepblue Bitte berücksichtige den Kommentar von maqu zu Deiner anderen Antwort. Außerdem bitte nicht drei Antworten auf dieselbe Frage. Und dazu ist Dein Ind. Beweis formal unsauber und unvollständig, das ist für einen Frager, der Schwierigkeiten mit dem Formalismus hat, nicht hilfreich.   ─   mikn 01.02.2024 um 11:36
ich hatte ihm genau diese Fragen auch noch mal gestellt, kannst du mir mehr weiterhelfen?   ─   sebas4444 01.02.2024 um 13:11

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Beim Induktionsschritt wir n/(n+1)! addiert.

Die Glieder haben die Form: (k-1)/k!.
Es gilt: (n+1)*n! = (n+1)!  :-)
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Angestellter, Punkte: 135

 
Ich verstehe nicht warum du n/ (n+1)! auf beiden Seiten einsetzt.

Ich verstehe auch in deiner Lösung nicht wo genau du die Äquivalenz der beiden Seiten zeigst.

Ich dachte man müsste am Ende wieder zwei Seiten haben, wo die Seite links genauso umgeformt ist wie die Seite rechts des Gleichheitszeichens.

Ich weiß auch nicht ob ich das einfach falsch lese, aber (n+1)!-1/(n+1)! ist doch nicht das Gleiche wie ((n+1) * n! - (n+1) + n ) / ( n +1 ) !

Und klar, den i.A. habe ich mit n=2 durchgeführt :).   ─   sebas4444 01.02.2024 um 02:02
Hallo :-)
Ich beweise im Induktionsbeweis den Induktionsschritt, dass also die linke Seite gleich die rechte Seite ist.
Zu deiner Frage bei den Brüchen: Hier wird der erste Bruch auch auf den Nenner (n+1)! gebracht, danach werden die Brüche einfach ausgerechnet.
Die beiden letzten Brüche sind gleich, beachte (n+1)*n! = (n+1)! und -(n+1)+n = -1.
Ich hoffe, die Schritte sind jetzt verständlicher. :-)   ─   deepblue 01.02.2024 um 21:02
Ich verstehe nicht was du genau mit "einfach ausgerechnet" meinst. Das die linke Seite gleich der rechten Seite bewiesen werden soll war mir bewusst.

Dass Die Terme in deinem Beispiel am ende gleich sind habe ich nun verstanden, ich war einfach zu hektisch beim lesen. Für eine formale Korrektheit müsste aber am Ende linke Seite = rechte Seite stehen und nicht einfach ein einzelnes Gleichheitszeichen.

Mein Hauptproblem ist nach wie vor, warum genau, erklär es mir ruhig sehr kleinteilig :), warum addierst du n/(n+1)!, anstatt n + 1, wie ich es in meinem Beispiel hatte. Das würde mich erleuchten. Danke dir schon mal für deine Mühen und lass dich nicht entmutigen vom anderen Kommentarschreiber.   ─   sebas4444 02.02.2024 um 00:12
@sebas4444 du hast doch schon alles erklärt bekommen, warum nach noch kleinteiliger Erklärung fragen? Du hast also allen Antworten die dir das Denken abnehmen ein Upvote verteilt und die Antwort die dir langfristig über diese Aufgabe hinaus helfen könnte ein Downvote verpasst. Das verrät einiges.   ─   maqu 02.02.2024 um 00:23
Hallo :-)
Alle Summenglieder haben die Form : (k-1)/k!.
Jetzt betrachte ich die Summe von k=2 bis k=n+1.
Das erste Summenglied k=2 hat die Form: (2-1)/2! = 1/2!.
Das zweite k=3 hat die Form: (3-1)/3!
...
Das vorletzte Summenglied k=n die Gestalt: (n-1)/n!
Das Letzte k=n+1: ((n+1)-1)/(n+1)! = n/(n+1)!

Dein (n+1) hat nicht die Form von (k-1)/k!

Ich hoffe, dass es jetzt verständlicher ist.
Viel Erfog beim lernen!

   ─   deepblue 02.02.2024 um 01:37

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Ich hoffe du hast den Induktionsanfang mit n =2 durchgeführt.
(2-1)/2! = (2!-1)/2!
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@deepblue du brauchst nicht mehrere Antworten auf die gleiche Frage geben, dafür gibt es die Kommentarfunktion. Diesmal werde ich noch kein Downvote verteilen. Bei der nächsten Lösung die du lieferst sieht das dann vielleicht anders aus. Erneut, beachte bitte den Kodex (Link oben links) Desweiteren bist du doch laut eigenen Angaben diplomierter Mathematiker. Siehe an mikn seiner Antwort was zu einer vollständigen Induktion alles dazu gehört.   ─   maqu 01.02.2024 um 20:05
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Bitte lesen Sie die Frage richtig, gefragt war nur nach dem Induktionsschluss, nicht nach einem vollständigen Induktionsbeweis.   ─   deepblue 01.02.2024 um 20:48
Diesmal werde ich noch kein Downvote verteilen. Bei der nächsten Lösung die du lieferst sieht das dann vielleicht anders aus.
Ich wollte nur weiterhelfen, Ihre obige Bemerkung ist für mich deshalb seltsam, da Sie ja nach eigenen Angaben den Titel Prof. besitzen.
   ─   deepblue 01.02.2024 um 21:13
Ich bin kein Prof. und das steht auch nirgendwo. Ich finde es bloß schade das mein nett gemeinter Rat für einen neuen anscheinend sehr engagiertem Helfer ja förmlich ignoriert wird und bei der nächsten Frage wieder die Lösung präsentiert wird. Immerhin habe ich diesmal eine Reaktion bekommen. Haben Sie denn den Kodex mal gelesen? Das immer alle so empfindlich reagieren.

Ich muss zugeben ich habe die Frage nicht genau genug gelesen da sie bereits 4 Antworten in kurzer Zeit erhalten hat. Aber auch wenn „nur“ nach dem IS gefragt ist, heißt das ja nicht das man diesen komplett für jemanden lösen muss. Ein Hinweis reicht oft um die Hilfesuchenden in die richtige Richtung zu schupsen. Und gerade wenn der Fragende keinen IA mitliefert, sollte man vielleicht erstmal den IA, die IB und die IV sauber formulieren lassen bevor man direkt mit dem IS beginnt.

Prinzipiell verteile ich nur sehr selten Downvotes. Aber wenn ich etwas unpassend finde, dann kann das schon mal vorkommen.   ─   maqu 01.02.2024 um 21:39

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Hier ein Muster für einen sauberen Induktionsbeweis:
Ind. Anf.: Zeige die Aussage für n=2 (nicht mehr, aber auch nicht weniger). Mit Ergebnis und Begründung.
Ind. Vor..: Ang. für ein n gilt: <Beh. mit n hinschreiben>
Ind. Beh.: Dann gilt: <Beh. mit n+1 anstelle n hinschreiben>.
Das ist soweit die minimale Aufschreibversion. Hier ist kein Wort zuviel. Lass nichts weg.
Jetzt erst kommt der
Ind. Schritt: <linke Seite der Beh. hinschreiben> = <Summe so aufteilen, dass die Ind. Vor. einsetzt werden> = <Ind. Vor. einsetzen> = <weiter umformen>

Überarbeite Deinen Versuch damit und lade die neue Version hoch (soweit Du gekommen bist). Nochmal: Lass nichts(!) weg.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.01K

 
ich war der Meinung, dass habe ich bereits getan. Ich habe eben alles bis zum I.S. weggelassen, weil mir nur die Umformung beim I.S. Schwierigkeiten bereitet hat.

Weiterhin verstehe ich nicht was du mit "Summe so aufteilen, dass die Ind. Vor. einsetzt werden" meinst.   ─   sebas4444 02.02.2024 um 00:01
Dann ist (vermute ich) die IV nicht sauber formuliert wurden. Liefere doch gerne alles nach was du weggelassen hast.

Man trennt (in diesem Fall) das letzte Summenglied ab:
\[\sum_{n=2}^{n+1} \frac{k-1}{k!}=\sum_{k=2}^n \frac{k-1}{k!}+\ldots \overset{IV}{=} \ldots \]
   ─   maqu 02.02.2024 um 00:12
Ich hab Dir deshalb das ganze Muster aufgeschrieben, weil viele das nicht kennen, ein Helfer Dir dazu auch kein sauberes Muster zum Aufschreiben gegeben hat und es nicht klar war, ob Du das schon gemacht hast. Schadet dann jedenfalls nichts.
Zum Aufteilen der Summe siehe vorigen Kommentar: Du hast es versucht, aber den Summanden falsch angesetzt und danach kam nur noch ungeordnetes. Auch daher das Muster zum geordneten Vorgehen.   ─   mikn 02.02.2024 um 11:30
Es war bereits klar, ich habe dies klar und deutlich in meiner Frage formuliert. Du verlangst von mir Dinge, die ich längst verstanden habe und beherrsche. Bisher hatte ich einfach noch keine Beispiele wo man das n+1 an die Summe anpassen musste. Du warst auch nicht in der Lage hilfreich auf meine Frage einzugehen, was du mit "Summe so aufteilen, dass die Ind. Vor. einsetzt werden" , übrigens sind dort auch Grammatikfehler vorhanden.
Den Downvote gab es, wie ich dir auch schon in der Begründung mitteilte, weil du überhaupt nicht auf meine Frage eingegangen bist, sondern quasi wie ein E-Mail Verteiler automatische Antworten ausgibst. Dies ist höchst unhilfreich gewesen.   ─   sebas4444 06.02.2024 um 00:01
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Ich hab dir im vorigen Kommentar erklärt, was zu tun ist. Und maqu hat das auch gemacht. Wenn du das Summenzeichen auch längst verstehst und beherrschst, sollte ja alles klar sein. Für Grammatikfehler (und Rechtschreibfehler) lies mal deinen eigenen Text.   ─   mikn 06.02.2024 um 02:43
Auf die Frage eingehen bedeutet aber auch nicht dir jeden Lösungsschritt haarklein zu erklären. Etwas Eigeninitiative von dir können wir auch erwarten. Die Fragen die du stellst lassen jedenfalls nicht erkennen, dass du es beherrschst. Wenn dem so wäre, würde sich deine Frage ja auch erübrigen.   ─   maqu 06.02.2024 um 08:50

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