Hallo,

Vorweg: du schreibst ganz oben
$$ f(x.y.z) = e^{x^2 -y^2 + z}  $$
danach ist das $z$ aber immer quadriert im Exponenten. Irgendwo hast du dich also verschrieben.

Dein Punkt $P(0|0|0)$ ist schon mal richtig (falls $z^2$ im Exponenten steht). Ich verstehe aber nicht wieso du deine zweiten partiellen Ableitungen so schreibst. 
$$ 4x^2e^{x^2-y^2+z^2} + 2e^{x^2 -y^2 + z^2} \neq 2e^{-y} (2x^2+1) e^{x^2} + z^2 $$
Bei den anderen zweiten partiellen Ableitungen nach der selben Variable machst du nicht so eine Umformung. Du ziehst aber trotzdem immer das $e$ auseinander. Das würde ich nicht tun. Das macht es unübersichtlicher.
Am besten einfach
$$ f_{xx} = (4x^2+2)e^{x^2-y^2+z^2}  $$
Wenn wir den Punkt $P$ in die Hesse Matrix einsetzen, erhalten wir dann
$$ H_f(P) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$
Davon ist die Determinante $-8$ wie du richtig sagst. Es stimmt also alles soweit. 

Wo genau entsteht denn deine Unsicherheit?

Grüße Christian