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Hallo,
zuerst einmal, darfst du beim subtrahieren von Brüchen nicht einfach die Nenner voneinander abziehen. Du musst zuerst beide Brüche auf den selben Nenner bringen und dann kannst du die Zähler subtrahieren.
Du kannst zum Beispiel immer folgendes tun
$$ \frac a b \pm \frac c d = \frac {ad} {bd} \pm \frac {cb} {bd} = \frac {ad\pm cb} {bd} $$
du kannst also jeweils einen Bruch mit dem Nenner des anderen Bruchs erweitern. Es gäbe hier noch eine einfachere Möglichkeit, aber möglicherweise nur einfacher, wenn es einem sofort auffällt. Es reicht hier nämlich, nur den linken Bruch zu erweitern. Die Frage wäre hier, womit?
Wenn du den Bruch dann richtig zusammengefasst hast, dann kannst du Zähler als auch Nenner auf den Grenzwert überprüfen. Macht es einen Unterschied, ob du dich von links oder von rechts an die Zahl annäherst? Ist der Grenzwert für alle \( \alpha \) gleich?
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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okay dann mache ichs mit der formel
─
anonymf907f
29.01.2021 um 16:46
Ich sage es dir an der Stelle trotzdem einmal, du könntest auch den linken Bruch mit \( x^2+ x + 1\) erweitern.
─
christian_strack
29.01.2021 um 17:02
stimmt das wäre besser
─
anonymf907f
29.01.2021 um 17:20
Auch mal am Rande, man könnte hier eine "fixe" Polynomdivison durchführen und würde sehen,
$$ (-x^3+1) \div (-x+1) = x^2+ x + 1 $$
Wenn man einen Restterm erhält, muss man automatisch so vorgehen wie in der Formel in meiner Antwort. Wenn es glatt aufgeht wie hier, dann kann man es sich häufig etwas einfacher machen. ─ christian_strack 29.01.2021 um 17:23
$$ (-x^3+1) \div (-x+1) = x^2+ x + 1 $$
Wenn man einen Restterm erhält, muss man automatisch so vorgehen wie in der Formel in meiner Antwort. Wenn es glatt aufgeht wie hier, dann kann man es sich häufig etwas einfacher machen. ─ christian_strack 29.01.2021 um 17:23
Hast du deine andere Antwort wieder weggemacht? Zeig ruhig wie weit du kommst, ich gucke gerne drüber.
─
christian_strack
29.01.2021 um 17:24
habe da 1+x/1-x^3 heraus
─
anonymf907f
29.01.2021 um 17:58
habe nur den ersten bruch mit x^2+x+1 erweitert den andeerren haben ich so stehen gelassen da im nenner auch das gleiche heraus kam
─
anonymf907f
29.01.2021 um 17:59
ich weiß nicht was ich mit dem ausdruck machen sollwäre die divergent
─ anonymf907f 29.01.2021 um 18:00
─ anonymf907f 29.01.2021 um 18:00
Machen wir eins nach dem anderen. Also erstmal erhalten wir als Funktion
$$ f(x) = \frac {2x^2 + (1-\alpha)x + 1 } {1-x^3} $$
Wenn wir für den Nenner nun \(x\) gegen \(1 \) laufen lassen, würde der Nenner gegen was streben?
Was würde für den Zähler dabei herauskommen? ─ christian_strack 29.01.2021 um 18:03
$$ f(x) = \frac {2x^2 + (1-\alpha)x + 1 } {1-x^3} $$
Wenn wir für den Nenner nun \(x\) gegen \(1 \) laufen lassen, würde der Nenner gegen was streben?
Was würde für den Zähler dabei herauskommen? ─ christian_strack 29.01.2021 um 18:03
was ist das alpha? das ist mir unbekannt
─
anonymf907f
29.01.2021 um 18:16
gegen 0
─
anonymf907f
29.01.2021 um 18:17
Ich habe die Aufgabe nicht gesehen, aber ich könnte mir vorstellen, dass \( \alpha \) eine reelle Zahl ist und du den Grenzwert allgemein betrachten sollst.
Aber erstmal, genau der Nenner geht gegen Null.
Der Zähler geht gegen
$$ 2 \cdot 1 + (1-\alpha) \cdot 1 + 1 = 4- \alpha $$
Könntest du dir vorstellen, welche Fälle du für \( \alpha \) betrachten musst? ─ christian_strack 29.01.2021 um 18:42
Aber erstmal, genau der Nenner geht gegen Null.
Der Zähler geht gegen
$$ 2 \cdot 1 + (1-\alpha) \cdot 1 + 1 = 4- \alpha $$
Könntest du dir vorstellen, welche Fälle du für \( \alpha \) betrachten musst? ─ christian_strack 29.01.2021 um 18:42
für alpha 4 und -4 wir haben es nocht gemacht mit alpha
─
anonymf907f
29.01.2021 um 18:52
habe 2x^2+x+1/1-x^3 also beim erweitern
─
anonymf907f
29.01.2021 um 18:53
jetzt weiß ich nicht wie ich den grenzwert bestimmen soll faktorisieren geht auch nicht wegen dem zähler würde nichts bringen
würdde gedanklich die 1 einsetzen ─ anonymf907f 29.01.2021 um 18:55
würdde gedanklich die 1 einsetzen ─ anonymf907f 29.01.2021 um 18:55
Wir gehen das Schritt für Schritt durch ;)
Wenn wir \( \alpha = 4 \) setzen, dann werden sowohl der Zähler, als auch der Nenner Null.
Das ist definitiv ein Fall den wir gesondert betrachten müssen.
Wenn \( \alpha < 4 \) ist, dann ergibt der Zähler eine eine positive oder negative Zahl, wenn \( x=1 \)? Genauso, wenn \( \alpha > 4 \) ist, ergibt der Zähler nun eine positive oder negative Zahl?
Wir erhalten also für \( \alpha \) schon mal wie viele Fälle? ─ christian_strack 29.01.2021 um 18:58
Wenn wir \( \alpha = 4 \) setzen, dann werden sowohl der Zähler, als auch der Nenner Null.
Das ist definitiv ein Fall den wir gesondert betrachten müssen.
Wenn \( \alpha < 4 \) ist, dann ergibt der Zähler eine eine positive oder negative Zahl, wenn \( x=1 \)? Genauso, wenn \( \alpha > 4 \) ist, ergibt der Zähler nun eine positive oder negative Zahl?
Wir erhalten also für \( \alpha \) schon mal wie viele Fälle? ─ christian_strack 29.01.2021 um 18:58
5 fälle
─
anonymf907f
29.01.2021 um 19:00
Danach setzen wir mal für die Grenzwertbetrachtung an.
Wir wissen ja schon durch das Zusammenfassen, dass
$$ 1-x^3 = (1-x)(x^2+x+1) $$
Faktorisieren ist jetzt genau das richtige Stichwort. Kannst du den Zähler faktorisieren? ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:00
Wir wissen ja schon durch das Zusammenfassen, dass
$$ 1-x^3 = (1-x)(x^2+x+1) $$
Faktorisieren ist jetzt genau das richtige Stichwort. Kannst du den Zähler faktorisieren? ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:00
ja der zähler ist 2x^2+x+1 habe ich oben weiter geschrieben
─
anonymf907f
29.01.2021 um 19:01
Jaein. Es werden am Ende 5 verschieden Ergebnisse herauskommen. Für \( \alpha \) haben wir aber nur \( 3 \) Fälle. Nämlich
$$ \begin{array}{ccc} 1. & \alpha = 4 \\ 2. & \alpha > 4 \\ 3. & \alpha < 4 \end{array} $$
Die weiteren Fälle entstehen wodurch? ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:02
$$ \begin{array}{ccc} 1. & \alpha = 4 \\ 2. & \alpha > 4 \\ 3. & \alpha < 4 \end{array} $$
Die weiteren Fälle entstehen wodurch? ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:02
ich habe 1*(x^2+x+1)+2x+x^2 gerechnet
─
anonymf907f
29.01.2021 um 19:02
Bei \( 2x^2 +x + 1 \) hast du \( \alpha = 0 \) gesetzt. Das ist aber nicht der Fall den wir betrachten. Es ist ja \( \alpha = 4 \). Wie lautet also dein Zähler? Wie lauten die Nullstellen des Zählers? Wie lauten also die Linearfaktorzerlegung vom Zähler?
─
christian_strack
29.01.2021 um 19:03
beim zähler habe ich keine nullstelle herausgefunden wegen der +1 hinten
─
anonymf907f
29.01.2021 um 19:07
damit wir uns verstehen:
kommt nach der erweiterung 2x^2+x+1/1-x^3 heraus??? ─ anonymf907f 29.01.2021 um 19:14
kommt nach der erweiterung 2x^2+x+1/1-x^3 heraus??? ─ anonymf907f 29.01.2021 um 19:14
Oh Moment mal kurz. Mir ist ein ganz grober Patzer unterlaufen. Habe mich auf dem Bild verlesen. Es ist ja
$$ \frac 1 {1-x} - \frac {\alpha x + x^2} {1-x^3} = \frac {x^2+x+1} {1-x^3} - \frac {\alpha x + x^2} {1-x^3} = \frac {x^2 + x + 1 - \alpha x - x^2} {1-x^3} = \frac {(1-\alpha)x +1 } {1-x^3} $$
Dadurch verändert sich ein bisschen was, aber nicht so viel bis jetzt.
wir überprüfen wieder den Zähler für \( x=1 \) und erhalten
$$ (1-\alpha) \cdot 1 + 1 = 2 - \alpha $$
Also ergeben sich die 3 Fälle für \( \alpha \) zu:
$$ \begin{array}{cc} 1. & \alpha = 2 \\ 2. & \alpha > 2 \\ 3. & \alpha < 2 \end{array} $$
Wenn wir nun \( \alpha =2 \) setzen, erhalten wir den Bruch
$$ \frac {-x+1} {1-x^3} = \frac {-x+1} {(-x+1)(x^2+x+1)} $$
So, die Verwirrung tut mir Leid.
Wie können wir hier jetzt weiter vorgehen?
Zu deiner Frage: Es gibt den sogenannten linksseitigen und rechtsseitgen Grenzwert. Beispielsweise bei der Betrachtung von \( x \to 1 \), lassen wir \( x \) von "unten" an die \( 1 \) herangehen. Also quasi durch die Zahl \( 0{,}9999999\ldots\). Beim rechtsseitgen nähern wir uns von "oben" an, also quasi durch \( 1{,}0000\ldots001 \) (unmathematisch gesprochen). Dadurch verändert sich ein Vorzeichen. Und somit haben wir am Ende 5 Fälle. ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:15
$$ \frac 1 {1-x} - \frac {\alpha x + x^2} {1-x^3} = \frac {x^2+x+1} {1-x^3} - \frac {\alpha x + x^2} {1-x^3} = \frac {x^2 + x + 1 - \alpha x - x^2} {1-x^3} = \frac {(1-\alpha)x +1 } {1-x^3} $$
Dadurch verändert sich ein bisschen was, aber nicht so viel bis jetzt.
wir überprüfen wieder den Zähler für \( x=1 \) und erhalten
$$ (1-\alpha) \cdot 1 + 1 = 2 - \alpha $$
Also ergeben sich die 3 Fälle für \( \alpha \) zu:
$$ \begin{array}{cc} 1. & \alpha = 2 \\ 2. & \alpha > 2 \\ 3. & \alpha < 2 \end{array} $$
Wenn wir nun \( \alpha =2 \) setzen, erhalten wir den Bruch
$$ \frac {-x+1} {1-x^3} = \frac {-x+1} {(-x+1)(x^2+x+1)} $$
So, die Verwirrung tut mir Leid.
Wie können wir hier jetzt weiter vorgehen?
Zu deiner Frage: Es gibt den sogenannten linksseitigen und rechtsseitgen Grenzwert. Beispielsweise bei der Betrachtung von \( x \to 1 \), lassen wir \( x \) von "unten" an die \( 1 \) herangehen. Also quasi durch die Zahl \( 0{,}9999999\ldots\). Beim rechtsseitgen nähern wir uns von "oben" an, also quasi durch \( 1{,}0000\ldots001 \) (unmathematisch gesprochen). Dadurch verändert sich ein Vorzeichen. Und somit haben wir am Ende 5 Fälle. ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:15
die 2 ist kein alpha
─
anonymf907f
29.01.2021 um 19:19
wie meinst du das?
─
christian_strack
29.01.2021 um 19:21
ahhhh ok in der Aufgabe heißt es
$$ \frac 1 {1-x} - \frac {2x+x^2} {1-x^3} $$
oder? ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:22
$$ \frac 1 {1-x} - \frac {2x+x^2} {1-x^3} $$
oder? ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:22
es ist 1/(1-x)-(2x+x^2+x^2)/1-x^3 und nicht 1/1-x-alphax+x^2+x^2/1-x^3
─
anonymf907f
29.01.2021 um 19:23
ja
─
anonymf907f
29.01.2021 um 19:23
Das tut mir wirklich sehr Leid. Da habe ich mich ja komplett verlesen. Jetzt verstehe ich auch deinen Einwand. :D
Ok also nach dem erweitern und zusammenfassen, erhalten wir aber
$$ \frac {-x+1} {(-x+1)(x^2+x+1)} $$
das ist ja genau der Fall, denn ich in meiner letzten Antwort gerade betrachten wollte. Wie kannst du nun weiter vorgehen? ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:24
Ok also nach dem erweitern und zusammenfassen, erhalten wir aber
$$ \frac {-x+1} {(-x+1)(x^2+x+1)} $$
das ist ja genau der Fall, denn ich in meiner letzten Antwort gerade betrachten wollte. Wie kannst du nun weiter vorgehen? ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:24
deswegen hat es mich verwirrt mit dem alpha
─
anonymf907f
29.01.2021 um 19:24
ja das kann ich absolut verstehen. Wie gesagt das tut mir wirklich sehr Leid.
─
christian_strack
29.01.2021 um 19:25
woher kommt das -x+1 im zähler
─
anonymf907f
29.01.2021 um 19:26
kein problem passiert
─
anonymf907f
29.01.2021 um 19:27
$$ \frac 1 {1-x} - \frac {2x+x^2} {1-x^3} = \frac {x^2+x+1} {1-x^3} - \frac {2x+x^2} {1-x^3} = \frac {x^2+x+1-2x-x^2} {1-x^3} = \frac {-x+1} {-x^3+1} = \frac {-x+1} {(-x+1)(x^2+x+1)} $$
─
christian_strack
29.01.2021 um 19:28
Oder vielleicht den Mittelschritt noch etwas langsamer aufgeschrieben
$$ \frac {x^2+x+1} {1-x^3} - \frac {2x+x^2} {1-x^3} = \frac {x^2+x+1-(2x+x^2)} {1-x^3} = \frac {x^2+x+1-2x-x^2} {1-x^3} $$
Das Minus vor dem zweiten Bruch bezieht sich auf den ganzen Zähler und nicht nur auf die \(2x\). ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:30
$$ \frac {x^2+x+1} {1-x^3} - \frac {2x+x^2} {1-x^3} = \frac {x^2+x+1-(2x+x^2)} {1-x^3} = \frac {x^2+x+1-2x-x^2} {1-x^3} $$
Das Minus vor dem zweiten Bruch bezieht sich auf den ganzen Zähler und nicht nur auf die \(2x\). ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:30
die -x+1 kann man kürzen dann steht dfa x^2+x+1 da
─
anonymf907f
29.01.2021 um 19:33
die 1 einsetzen und ich erhalte 1/3
─
anonymf907f
29.01.2021 um 19:40
vielen danik
─
anonymf907f
29.01.2021 um 19:41
Ja genau. Wir erhalten also insgesamt
$$ \lim\limits_{x\to1} \frac 1 {1-x} - \frac {2x+x^2} {1-x^3} = \lim\limits_{x\to1} \frac {-x +1 } {(-x+1)(x^2+x+1)} = \lim\limits_{x\to1} \frac 1 {x^2+x+1} = ? $$ ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:42
$$ \lim\limits_{x\to1} \frac 1 {1-x} - \frac {2x+x^2} {1-x^3} = \lim\limits_{x\to1} \frac {-x +1 } {(-x+1)(x^2+x+1)} = \lim\limits_{x\to1} \frac 1 {x^2+x+1} = ? $$ ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:42
Ah ja genau. Perfekt. :)
Sehr gerne, ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:42
Sehr gerne, ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:42
ich muss noch eine ähnliche aufgabe rechnen
lim x gegen 1 (1/1-x-3/1-x^3) alles gleich statt 2x+x^2 ist es die 3 ─ anonymf907f 29.01.2021 um 19:45
lim x gegen 1 (1/1-x-3/1-x^3) alles gleich statt 2x+x^2 ist es die 3 ─ anonymf907f 29.01.2021 um 19:45
Fasse die Brüche beide wieder zusammen. Was erhälst du?
Kannst du den neuen Zähler faktorisieren?
─ christian_strack 29.01.2021 um 19:51
Kannst du den neuen Zähler faktorisieren?
─ christian_strack 29.01.2021 um 19:51
ich habe es mit der formel gemacht mit dem erweitern da habe ich (1-x)*(1-x^3) ist x^4-x^3-x+1 heraus
─
anonymf907f
29.01.2021 um 19:54
sollte eigentlich 1-x^3 sein
─
anonymf907f
29.01.2021 um 19:57
dann muss ich die polynomdivision machen dann kann ich mich nicht auf die formel verlassen bestimmt habe ich mich verrechnet
─
anonymf907f
29.01.2021 um 19:58
Es ist ja
$$ (1-x) \cdot (x^2+x+1) = 1-x^3 $$
Du kannst ja also wieder nur den linken Bruch mit \(x^2+x+1 \) erweitern. Wir können es aber auch mal anders machen. Nach der Formel aus meiner Antwort müsstest du dann einen bruch mit \(1-x\) und den anderen mit \( 1-x^3 \) erweitern. ─ christian_strack 29.01.2021 um 20:01
$$ (1-x) \cdot (x^2+x+1) = 1-x^3 $$
Du kannst ja also wieder nur den linken Bruch mit \(x^2+x+1 \) erweitern. Wir können es aber auch mal anders machen. Nach der Formel aus meiner Antwort müsstest du dann einen bruch mit \(1-x\) und den anderen mit \( 1-x^3 \) erweitern. ─ christian_strack 29.01.2021 um 20:01
werde es nach deiner formel machn
─
anonymf907f
29.01.2021 um 20:19
b*d ist doch (1-x)*(1-x^3) dafür habe ich x^4-x^3-x+1 raus da ist für den nenner
─
anonymf907f
29.01.2021 um 20:24
ich habe es so gemacht 1-x^3-3(1-x)/x^4-x^3-x+1
─
anonymf907f
29.01.2021 um 20:35
Ja genau.
Also insgesamt
$$ \frac {-x^3 + 3x - 2 } {x^4-x^3 - x + 1 } $$
Was passiert wenn wir \( x=0 \) setzen mit Zähler und Nenner? ─ christian_strack 29.01.2021 um 20:49
Also insgesamt
$$ \frac {-x^3 + 3x - 2 } {x^4-x^3 - x + 1 } $$
Was passiert wenn wir \( x=0 \) setzen mit Zähler und Nenner? ─ christian_strack 29.01.2021 um 20:49
zähler -2
nenner 1 ─ anonymf907f 29.01.2021 um 20:54
nenner 1 ─ anonymf907f 29.01.2021 um 20:54
Oh sorry \( x=1 \) (ich sollte wohl langsam schluss machen)
─
christian_strack
29.01.2021 um 20:59
Man setzt x=1 dann hat man den grenzwert!? hm aber ich kann hier nichts mehr kürzen!
─
anonymf907f
29.01.2021 um 22:03
also ich setze x=1 ein und erhalte dann mein grenzwert?
─
anonymf907f
01.02.2021 um 10:59
die ist divergent oder ? wie kann ich das zeigen im zähler kommt 0 heraus
─
anonymf907f
01.02.2021 um 11:03
Im Nenner kommt ja auch Null raus.
Wir haben hier wieder einen Ausdruck der Form \( \frac 0 0 \). Dieser ist undefiniert.
Da \(x=1\) Nullstelle des Zählers und Nenners ist, haben wir eine sogenannte hebbare Definitionslücke. Wir müssen jetzt Polynomdivision nutzen um sowohl im Zähler als auch im Nenner diese Nullstelle "loszuwerden".
Was erhalten wir?`Was passiert wenn wir wieder in Zähler und Nenner \(x=1 \) setzen? ─ christian_strack 01.02.2021 um 12:24
Wir haben hier wieder einen Ausdruck der Form \( \frac 0 0 \). Dieser ist undefiniert.
Da \(x=1\) Nullstelle des Zählers und Nenners ist, haben wir eine sogenannte hebbare Definitionslücke. Wir müssen jetzt Polynomdivision nutzen um sowohl im Zähler als auch im Nenner diese Nullstelle "loszuwerden".
Was erhalten wir?`Was passiert wenn wir wieder in Zähler und Nenner \(x=1 \) setzen? ─ christian_strack 01.02.2021 um 12:24
also müssen wir jeweils 2 polynomdivisionen machen für den zähler und nenner mit x-1?
─
anonymf907f
01.02.2021 um 12:33
genau. Es gibt auch noch die Möglichkeit die Regel von l'hospital anzuwenden, aber ich denke das habt ihr nie gemacht oder? Kommt in der Schule eig nicht vor soweit ich weiß.
─
christian_strack
01.02.2021 um 13:02
doch die kenne ich man muss doch den zähler und den nenner ableiten oder?
─ anonymf907f 01.02.2021 um 13:10
─ anonymf907f 01.02.2021 um 13:10
habe z und n abgeleitet da kommt raus -x^2+3/4x^3-3x^2
─
anonymf907f
01.02.2021 um 13:18
ah ok ja das macht es wesentlich einfacher.
Ja genau, wenn
$$ \lim\limits_{x \to x_0} \frac {f(x)} {g(x)} $$
einen unbestimmten Ausdruck annimmt (wie beispielsweise \( \frac 0 0 \) können wir l'hospital nutzen. Wenn der Grenzwert existiert, gilt
$$ \lim\limits_{x \to x_0} \frac {f(x)} {g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac {f'(x)} {g'(x)} $$
wir können also auch einfach (wie du bereits gesagt hast) Zähler und Nenner ableiten und uns den Grenzwert angucken. Manchmal erhält man wieder so eine Art Ausdruck, dann muss man l'hospital eventuell mehrfach anwenden. ─ christian_strack 01.02.2021 um 13:19
Ja genau, wenn
$$ \lim\limits_{x \to x_0} \frac {f(x)} {g(x)} $$
einen unbestimmten Ausdruck annimmt (wie beispielsweise \( \frac 0 0 \) können wir l'hospital nutzen. Wenn der Grenzwert existiert, gilt
$$ \lim\limits_{x \to x_0} \frac {f(x)} {g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac {f'(x)} {g'(x)} $$
wir können also auch einfach (wie du bereits gesagt hast) Zähler und Nenner ableiten und uns den Grenzwert angucken. Manchmal erhält man wieder so eine Art Ausdruck, dann muss man l'hospital eventuell mehrfach anwenden. ─ christian_strack 01.02.2021 um 13:19
1 eingesetzt => 0/1 ist 0 also ist sie divergent?
─
anonymf907f
01.02.2021 um 13:19
Hmm ne nicht ganz, es kommt
$$ \frac {-3x^2+3} {4x^3-3x^2-1} $$
raus. Was passiert, wenn wir \( x=1 \) setzen? ─ christian_strack 01.02.2021 um 13:20
$$ \frac {-3x^2+3} {4x^3-3x^2-1} $$
raus. Was passiert, wenn wir \( x=1 \) setzen? ─ christian_strack 01.02.2021 um 13:20
ist wieder 0 also nochmal ableiten
─
anonymf907f
01.02.2021 um 13:23
genau. Was kommt raus?
─
christian_strack
01.02.2021 um 13:23
-6x/12x-6x
─
anonymf907f
01.02.2021 um 13:28
-1 als ergebnis
─
anonymf907f
01.02.2021 um 13:28
Jap das ist richtig :)
─
christian_strack
01.02.2021 um 14:07