Ich möchte die zwei Additionstheoreme der trig. Fktn beweisen, aber mit \( z,w \in\mathbb{C}  \)


Ich habe mit dem zweiten (cos-)Theorem angefangen und bin soweit, dass ich mithilfe von: \( \sin(z) = \frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz}), \cos(z)= \frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}) \) zeige:
$$\cos(z)\cos(w)-\sin(z)\sin(w) = \frac{1}{4}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)\cdot\left(e^{iw}+e^{-iw}\right) + \frac{1}{4}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)\left(e^{iw}-e^{-iw}\right) =  $$
$$ = \frac{1}{4}\left(e^{i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{i(w-z)}+e^{-i(z+w)}  \right) $$
Ich weiß, dass ich nicht mehr weit von der Lösung bin, aber ich bin unsicher mit der Multiplikation der Exponenten. Stimmt das soweit und wie kann ich die weiter zusammenfassen? Meine Idee wäre: \( e^{i(z-w)} = e^{-i(z+w)} \). Ich weiß nämlich, dass ich am Ende 2 gleiche e-Potenzen haben muss, damit ich die zusammenfassen und dann mit der \( \frac{1}{4} \) bearbeiten kann.