Hey, kann mir jemand sagen was bei dem folgenden Beweis passiert? 
Es geht um den folgenden Satz: 
Für Untergruppen $N_1,...,N_n$ einer Gruppe $G$ sind gleichwertig:
(1) $N_1,...,N_n$ sind Normalteiler und $G = N_1 \otimes ... \otimes N_n$
(2) Es sind die folgenden beiden Bedinungen erfüllt:
(i): $ i \neq j, x\in N_i, y \in N_j \Rightarrow xy =yx$
(ii) Jedes $x \in G$ ist auf genau eine Weise in der folgenden Form darstellbar: $x = a_1 \cdot...\cdot a_n$ mit $a_j \in N_i$

Der  Beweis ist im Bild (Es wird zuerst aus 1 folgt 2 bewiesen), ich verstehe die gelb markierten = nicht. Wieso soll z.B $b_3^{-1}a_3$ dasselbe sein wie $a_1^{-1}b_1a_2^{-1}b_2a_4^{-1}b_4a_5^{-1}b_5$ bei n = 5 und k = 3?

Das $\otimes$ ist definiert wie folgt: Eine Gruppe G heißt das innere direkte Produkt der Normalteiler $N_1,...,N_n$ wenn die Bedinungen erfüllt sind:
$G = N_1...N_n = \{a_1...a_n | a_1 \in N_1,...,a_n \in N_n\}$
und $N_k \cap (N_1...N_{k-1}N_{k+1}...N_n) = \{e\}$ für jedes k = 1,...,n
Man schreibt dann $G = N_1 \otimes... \otimes N_n$ 

Ich verstehe auch nicht ganz genau, wieso dann $ \{ \overline{1},  \overline{3},  \overline{5},  \overline{7} \} = \mathbb{Z}/8^{\times} = \langle \overline{3} \rangle \otimes \langle \overline{5} \rangle $ sein soll. Was soll denn überhaupt $\langle \overline{3} \rangle$ sein, wenn ich mir das als Menge ausschreibe?

Danke schonmal und einen guten Rutsch ins neue Jahr dann.