WS das ein mind. eine von zwei ZV grösser als x ist

Aufrufe: 531     Aktiv: 09.01.2021 um 15:44
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Ich habe zwei Zufallsvariabeln \(B, Z\) die, die Verspätung von zwei Verkehrsmitteln in Minuten modellieren sollen. Die Zufallsvariabeln sind unabhängig.

Nun soll ich die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass mindestens eines der beiden Verkehrsmittel mehr als 4 Minuten Verspätung hat.

Ich bin der Meinung, dass sich dies folgendermassen ausrechnen lässt: \(P[B > 4 \cup Z > 4] = P[B > 4] + P[Z > 4]\).

Die Musterlösung verlangt aber nach \(P[max(B,Z) > 4]\). Was habe ich falsch überlegt?

 

Edit: Aufgabe 3e) aus Prüfung Winter 2009 mit Musterlösung.

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Student, Punkte: 140

 
Läuft das nicht aufs Gleiche hinaus? Wie war denn das weitere Vorgehen in der Lösung bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit?
   ─   posix 09.01.2021 um 10:53
Nein, in der Musterlösung multiplizierst du dann \(P[B >4]\) und \(P[Z >4]\).
Ich such kurz das PDF.   ─   hermionestranger 09.01.2021 um 11:00
Habe die Aufgabe noch verlinkt.   ─   hermionestranger 09.01.2021 um 11:02
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1 Antwort
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Dein Problem liegt einfach in der falschen Annahme \(P[B>4 \lor Z>4]= P[B>4] + P[Z>4]\), diese würde nur gelten, wenn das Ereignis Zug und Bus haben mehr als 4 Minuten Verspätung nicht möglich wäre, andernfalls muss der Term \(P[B>4]P[Z>4]\) abgezogen werden.

Somit erhält man auch das Gleiche wie in deiner Musterlösung, denn \[P[\operatorname{max}(B,Z)>4] \overset{\text{unabh.}}{=} 1 - P[B\le 4]P[Z\le 4] = 1 - (1 - P[B>4])(1-P[Z>4]) \\= P[Z>4] + P[B>4] - P[Z>4]P[B>4] = P[B>4 \;\cup\; Z>4]\]

folglich ist deine Wahrscheinlichkeit mit jener der Musterlösung äquivalent.

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Student, Punkte: 1.05K

 
Dazu gehört noch, dass ich angenommen habe, dass Unabhängigkeit impliziert dass die beiden Ereignisse disjunkt sind. Offenbar ist dies nicht der Fall.   ─   hermionestranger 09.01.2021 um 15:44

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