Es gilt nicht einfach so $U_\epsilon(x)\subset U$. Aber wenn $U$ offen ist, gibt es zu jedem $x\in U$ so ein $\epsilon$, so dass $U_\epsilon(x)\subset U$. Mach Dir das gründlich klar, das Verständnis für das "für alle.... gibt es ...." ist hier entscheidend.
Zu zeigen ist für alle $x\in U$: Es gibt ein $\epsilon$ mit $U_\epsilon\subset U \iff$ es gibt ein $\epsilon2$ mit $U'_{\epsilon2}\subset U$.
Hierbei ist $U$ die Umgebung bez. der Metrik $d$, und $U'$ die für die Standardmetrik.
Der Schlüssel dazu ist, dass $\arctan$ eine Lipschitzfunktion auf ganz $R$ ist. Berechne zunächst mithilfe des MWS die (eine) Lipschitzkonstante $L$.