Gegeben:

Seien \(X\) und \(Y\) Zufallsvariabeln mit gemeinsamer Dichtefunktion

\(f(x,y) = \frac{1}{x^2y^2}\) für \(x \geq 1, y \geq 1\) und null sonst.

Definiere \(Y := \frac{X}{Y}\).

Aufgabe:

Berechne die Verteilungsfunktion \(F_U\) der Zufallsvariable \(U\).

Das grundsätzliche Vorgehen \(P[\frac{X}{Y} \leq t] =  P[(X,Y) \in A]\) für ein passendes \(A\) ist mir bekannt.

Allerdings komme ich beim besten Willen nicht darauf wie ich hier auf \(A\) kommen soll.

Die Musterlösung hat eine Fallunterscheidung mit für \(u > 1 \rightarrow A = \{(x,y) | y \geq 1, 1 \leq x \leq uy\}\) und für \(0 < u \leq 1\) \(A = \{(x,y) | \frac{1}{u} \geq y,  1 \leq x \leq uy\}\).

Wie erhalte ich \(\frac{1}{u} \geq y\)?

Falls jemand eine Idee hat wo es Übungen dazu gibt, wäre ich sehr froh.