Wir betrachten gerade Fourier-Reihen und mussten dafür ein Skalarprodukt einführen. Betrachtet wird der Raum aller \(2\pi\)-periodischen Funktionen \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}\), die über der Intervall \([0,2\pi]\) Riemann-integrierbar sind. Als Skalarprodukt haben wir

\[\langle f,g\rangle:=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\overline{f(x)}g(x)\ dx\]
definiert. 

Aus meiner Linearen Algebra Vorlesung weiß ich noch, dass ein Skalarprodukt 3 Eigenschaften haben muss:

• sesquilinear
• hermitisch
• positiv definit

Die ersten beiden Eigenschaften habe ich hinbekommen nachzuweisen, doch irgendwie habe ich ein Verständnisproblem bei der Definitheit, also dass \(\langle f,f \rangle=0\Leftrightarrow f=0\)

Die eine Richtung trivial, aber wenn ich 
\[f(x)=\begin{cases} 1, &x=\pi\\ 0, &\text{sonst}\end{cases}\]
setze, dann ist die Funktion ja offensichtlich nicht die Nullfunktion, aber dennoch ist sie auf \([0,2\pi]\) Riemann-integrierbar, da sie nur eine endliche Anzahl an unstetigkeitsstellen hat und das Skalarprodukt dieser Funktion ist 0, was bedeuten würde, dass die Funktion ein Gegenbeispiel wäre. Damit würde das Skalarprodukt nur dann funktionieren, wenn wir voraussetzen, dass \(f\) stetig ist, das wurde aber nicht gemacht.

Würde mich freuen, wenn mir jemand erklären könnte, wo bei meinem Beispiel der Denkfehler ist.