Zur Kontrolle Deiner Rechnung ist eine Skizze oft sehr hilfreich:
Mit Geogebra erledigst Du das in Sekunden

Das Vorzeichenverhalten in der Nähe der Polstelle ermittelt man indem man sich die Vorzeichen von Zähler und Nenner überlegt. Die kritischen x-Werte sind x=2 x=3 (Nullstellen des Nenners ) und x=4 Nullstelle des Zählers.
Die Quadratfunktion im Nenner ist nur im Intervall zwischen x=2 und =3 negativ.
Die lineare Funktion im Zähler wechselt bei x=4 das Vorzeichen von +nach -
Das ergibt dieses Vorzeichenschema:

x                        x<2            x=2         2<x<3     x=3       3<x<4       x=4          4<x

x-4                     negativ     negativ    negativ  negativ    negativ       0            positiv

\(x^2-5x+6\)       positiv           0         negativ       0         positiv      positiv      positiv    

f(x)                     negativ       POL      positiv        POL     negativ       0            positiv

Nun kannst Du die Grenzwerte von f(x) an den Polstellen berechnen, wobei Du unterscheiden musst, ob x sich der Stelle von rechts oder links annähert.

Daniel hat bei youtube eine ganze playlist zu dem Thema gemacht:

z.B. : https://www.youtube.com/watch?v=DqJMCpXJacA&list=PLLTAHuUj-zHiUyJimu33V8xep0VOQYVw0&index=12

Randbemerkung: Wenn der Zähler von f an einer Nullstelle des Nenners auch 0 ist, so must Du erst kürzen!

Sieht gut aus. Ein paar Kleinigkeiten: 

Schreibe beim Definitionsbereich bitte \(D=\mathbb{R}\setminus\{2,3\}\).

Die waagerechte Asymptote \(y=0\) stimmt. Die Asymptote ist eine Funktion, also schreib ruhig \(y=0\). Es gibt aber noch senkrechte Asymptoten. Wie lauten die Gleichungen von diesen?