Wie entsteht dieser Lösungsweg bei der Substitution/part. Integration?

Aufrufe: 97     Aktiv: 28.01.2024 um 21:44
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Hallo,

ich habe eine Beispielaufgabe zu einem Integral, welches berechnet werden soll:

Ich habe dazu auch die vorhandene Lösung mit Lösungsweg, welche ich allerdings nicht ganz nachvollziehen kann.

Es wird zuerst mit einer Substitution begonnen, für welche z = x⁴ gilt. Für z' gilt dann z'=4x³ und für dz=4x³dx bzw. x³dx = dz/4. Das verstehe ich alles noch, allerdings wird z nun im Lösungsweg eingesetzt und es steht dort folgendes:

Meine Frage ist, wieso steht direkt zu Beginn jetzt plötzlich x⁴, welches dann mit z ersetzt wird - wenn in der Ausgangsaufgabe x⁷ steht? Weil x⁷ könnte ja dann nicht so einfach mit z ersetzt werden, oder passiert da noch irgendein Schritt, den ich übersehen habe? Oder vielleicht einfach ein Fehler bei der Aufgabe selbst?

Vielen Dank im Voraus!


∫ ⋅
4
0
47 cosπ
dx
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Es ist nur $x^7$ aufgeteilt worden in $x^4\cdot x^3$.
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Noch eine Anmerkung warum man das so macht. Man möchte versuchen den Term innerhalb der trigonometrischen Funktion zu substituieren. Denn von $\cos(z)$ sollte die Stammfunktion bekannt sein. Dann versucht man in dem Fall den Faktor davor so umzuschreiben, dass man dort ebenfalls substituieren kann. Es soll nach der Substitution kein $x$ sondern nur noch $z$ als Variable vorkommen. Das restlich $x^3$ fällt dann weg wenn man das $\text{d}x$ durch $\text{d}z$ ersetzt. Schreibe es gerne mal sauber Schritt für Schritt auf. Vergiss nicht, dass deine Grenzen mit substituiert werden müssen!   ─   maqu 28.01.2024 um 21:44

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