Du hast bei einer Funktion 2ten Grades 3 Unbekannte (a,b und c) und brauchst daher (im Normalfall) 3 Gleichungen für ein Gleichungssystem um für a, b und c eine Lösung zu bekommen. Um das Gleichungssystem aufzustellen, müssen wir also 3 Bedinungen aus dem Text formulieren.

Ein Extremum bei x=1 sagt uns, dass die Steigung der Funktion an dieser Stelle =0 ist (die Tangente an dieser Stelle zeigt weder nach oben, noch nach unten).
Da die Steigung der 1. Ableitung der Funktion gleicht, können wir sagen
I: die erste Ableitung der Funktion f, hat an Stelle x=1 den y-Wert 0             f ' (1) = 0

ebenso steht im Text, dass die Steigung an der Stelle x=4, 3 ist, also hat
II: die erste Ableitung der Funktion f an Stelle x=4 den Wert 3                    f ' (4) = 3

unsere dritte Information ist, dass der Graph die x-Achse an Stelle x=4 schneidet, wir haben da eine Nulllstelle der y-Wert an dieser Stelle muss also 0 sein, daher lautet die dritte Gleichung
III: f (4) = 0     , also ist        f(4)= a*4² + b*4 + c = 0

du musst nun nurmehr, die Funktion einmal ableiten für Gleichung I und II das x einsetzen (wei ich bei III gemacht habe) und schon hast du ein Gleichungssystem und kannst nach a,b, und c lösen.

War soweit alles klar und kannst du die Aufgabe nun lösen? lg