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Hallo,
geh doch mal so vor, wie du ein "normales" LGS lösen würdest. Wir wollen jetzt überall $x_1$ loswerden. Bei der ersten Gleichung ist $x_1$ bereits weg.
Wie würde denn die dritte Gleichung minus der Zweiten aussehen?
Wie würde denn die vierte Gleichung minus der Zweiten aussehen?
Wie würde denn...
Versuch mal eine allgemeine Vorschrift für die Gleichungen zu finden. Ich denke dir wird schnell eine Regelmäßigkeit auffallen.
Wie kannst du nun aus der ersten Gleichung und diesen resultierenden Gleichungen weiter vorgehen um die Lösung zu erhalten?
Versuch dich mal. Wenn du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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wie sieht denn überhaupt die 4. Zeile aus?
─
anonymf76f7
22.10.2021 um 14:45
In der i-ten Gleichung haben alle $x_k$ den Vorfaktor 1 außer $x_i$ der hat den Vorfaktor Null.
Also es fehlt in jeder Gleichung ein $x$ ─ christian_strack 22.10.2021 um 14:57
Also es fehlt in jeder Gleichung ein $x$ ─ christian_strack 22.10.2021 um 14:57
also
$$ x_1 + x_2 + x_3 + x_5 + x_6 + x_7 + \ldots x_n =3 $$ ─ christian_strack 22.10.2021 um 14:57
$$ x_1 + x_2 + x_3 + x_5 + x_6 + x_7 + \ldots x_n =3 $$ ─ christian_strack 22.10.2021 um 14:57
ah super also:
1. Gleichung x1=0
2. Gleichung x2=0
3.Gleichung x3=3
i-te Gleichung xi=0
n-te Gleichung xn=0
ich hab das jetzt als Marix form aufgeschrieben und wie oben beschrieben umgeformt. aber ich komme leider irgendwie nicht auf ein allgemeines Ergebnis
─ anonymf76f7 22.10.2021 um 15:16
1. Gleichung x1=0
2. Gleichung x2=0
3.Gleichung x3=3
i-te Gleichung xi=0
n-te Gleichung xn=0
ich hab das jetzt als Marix form aufgeschrieben und wie oben beschrieben umgeformt. aber ich komme leider irgendwie nicht auf ein allgemeines Ergebnis
─ anonymf76f7 22.10.2021 um 15:16
Ne nicht ganz. Schreibt es dir sonst mal mit Zahlen auf. Wir nehmen an, dass $n=4$. Dann haben wir die Gleichungen
$$ \begin{array}{ccc} x_2 + x_3 + x_4 & = & 0 \\ x_1 + x_3 + x_4 & = & 1 \\ x_1 + x_2 + x_4 & = & 2 \\ x_1 + x_2 + x_3 & = & 3 \end{array} $$
Jetzt versuch mal überall $x_1$ loszuwerden. ─ christian_strack 22.10.2021 um 15:21
$$ \begin{array}{ccc} x_2 + x_3 + x_4 & = & 0 \\ x_1 + x_3 + x_4 & = & 1 \\ x_1 + x_2 + x_4 & = & 2 \\ x_1 + x_2 + x_3 & = & 3 \end{array} $$
Jetzt versuch mal überall $x_1$ loszuwerden. ─ christian_strack 22.10.2021 um 15:21
dann bekomme ich (2 1 0 -1)raus
─
anonymf76f7
22.10.2021 um 15:30
ja das ist richtig, aber darauf wollte ich nicht hinaus.
Du sollst dir hier an diesem Beispiel überlegen, wie du allgemein vorgehen könntest.
Wir lassen hier (und auch im allgemeinen Fall) die erste Gleichung unbehandelt, denn wir planen ja, überall $x_1$ loszuwerden.
Wie werden wir die $x_1$ los? ─ christian_strack 22.10.2021 um 16:03
Du sollst dir hier an diesem Beispiel überlegen, wie du allgemein vorgehen könntest.
Wir lassen hier (und auch im allgemeinen Fall) die erste Gleichung unbehandelt, denn wir planen ja, überall $x_1$ loszuwerden.
Wie werden wir die $x_1$ los? ─ christian_strack 22.10.2021 um 16:03
indem wir die zweite Gleichung von der zeile, die 0 werden soll subtrahieren?
─
anonymf76f7
22.10.2021 um 16:06
Ja genau. Und das wollen wir mit der dritten und vierten Zeile machen (im allgemeinen Fall also mit jeder Gleichung die nach der zweiten kommt).
Was kommt denn heraus, wenn wir die Dritte minus der Zweiten und die Vierte minus der Zweiten rechnen? ─ christian_strack 22.10.2021 um 16:08
Was kommt denn heraus, wenn wir die Dritte minus der Zweiten und die Vierte minus der Zweiten rechnen? ─ christian_strack 22.10.2021 um 16:08
x2-x3=1
x2-x4=2
─ anonymf76f7 22.10.2021 um 16:10
x2-x4=2
─ anonymf76f7 22.10.2021 um 16:10
Ja genau.
Wenn wir uns jetzt den allgemeinen Fall angucken. Was würden wir herausbekommen, wenn wir die Dritte minus der Zweiten und die Vierte minus der Zweiten berechnen würden? ─ christian_strack 22.10.2021 um 16:11
Wenn wir uns jetzt den allgemeinen Fall angucken. Was würden wir herausbekommen, wenn wir die Dritte minus der Zweiten und die Vierte minus der Zweiten berechnen würden? ─ christian_strack 22.10.2021 um 16:11
kommt da nicht das selbe heraus?
─
anonymf76f7
22.10.2021 um 16:14
exakt!
─
christian_strack
22.10.2021 um 16:16
Hast du eine Idee, was heraus bekommt, wenn man eine beliebige Gleichung, nennen wir sie die k-te Gleichung, minus der Zweiten rechnet?
─
christian_strack
22.10.2021 um 16:17
vielleicht x2k-xk=k?
─ anonymf76f7 22.10.2021 um 16:20
─ anonymf76f7 22.10.2021 um 16:20
gar nichts schlecht.
Es ist
$$x_2 - x_k = k-2$$
das k-2 entsteht, weil die k-te Gleichung ist gleich k-1 und wir ziehen durch die zweite Gleichung noch einen ab.
Na gut. Kannst du aus diesen Gleichungen und der ersten Gleichung nun die Lösung bestimmen? ─ christian_strack 22.10.2021 um 16:40
Es ist
$$x_2 - x_k = k-2$$
das k-2 entsteht, weil die k-te Gleichung ist gleich k-1 und wir ziehen durch die zweite Gleichung noch einen ab.
Na gut. Kannst du aus diesen Gleichungen und der ersten Gleichung nun die Lösung bestimmen? ─ christian_strack 22.10.2021 um 16:40
ah ja stimmt k-1 hatte ich irgendwie vergessen... danke! muss ich jetzt wieder ein "normales" Gleichungssystem lösen oder wie geht man vor?
─
anonymf76f7
22.10.2021 um 16:53
Tut mir Leid ich musste leider los.
Du hast jetzt ein Gleichungssystem mit n-1 Gleichungen.
Die erste Gleichung ist
$$ x_2 + x_3 + \ldots + x_{n-1} + x_n = 0 $$
die anderen haben die Form
$$ x_2 - x_k = k-2 , \quad \text{für} \ k \in \{3,4,5,\ldots,n-1,n\}$$
Welchen Wert haben alle n-1 Gleichung gemeinsam? Das wird der Wert sein, den wir zuerst bestimmen.
Wie könntest du die anderen Gleichungen mit der ersten Gleichung verrechnen, dass am Ende nur noch etwas mit diesem Wert da steht? ─ christian_strack 22.10.2021 um 19:58
Du hast jetzt ein Gleichungssystem mit n-1 Gleichungen.
Die erste Gleichung ist
$$ x_2 + x_3 + \ldots + x_{n-1} + x_n = 0 $$
die anderen haben die Form
$$ x_2 - x_k = k-2 , \quad \text{für} \ k \in \{3,4,5,\ldots,n-1,n\}$$
Welchen Wert haben alle n-1 Gleichung gemeinsam? Das wird der Wert sein, den wir zuerst bestimmen.
Wie könntest du die anderen Gleichungen mit der ersten Gleichung verrechnen, dass am Ende nur noch etwas mit diesem Wert da steht? ─ christian_strack 22.10.2021 um 19:58
Was genau ist mit der ersten Frage gemeint? Ich habe ja jetzt zwei Gleichungen aber nirgendwo steht doch alleine n-1 (und tut mir leid falls meine Fragen nerven bzw. Irgendwie dumm sind aber leider verstehe ich die Aufgabe einfach nicht wirklich)
─
anonymf76f7
22.10.2021 um 20:19
Nein frag bitte immer weiter. Fragen ist das aller wichtigste. Nur so kann man etwas dazu lernen :)
Und mir als Helfer (und ich glaube auch vielen anderen) macht es mit Abstand am meisten Spaß, wenn man merkt das der Gegenüber es wirklich versucht und sich damit beschäftigt.
Mathematik lebt davon auszuprobieren, oft zu scheitern, sich durchzubeißen und dann irgendwann zum Ziel zu kommen. Also bleib ruhig dran. Wir kommen schon noch auf die Lösung! ─ christian_strack 22.10.2021 um 21:06
Und mir als Helfer (und ich glaube auch vielen anderen) macht es mit Abstand am meisten Spaß, wenn man merkt das der Gegenüber es wirklich versucht und sich damit beschäftigt.
Mathematik lebt davon auszuprobieren, oft zu scheitern, sich durchzubeißen und dann irgendwann zum Ziel zu kommen. Also bleib ruhig dran. Wir kommen schon noch auf die Lösung! ─ christian_strack 22.10.2021 um 21:06
Du hattest ja vorher n verschiedene Gleichungen (n als Anzahl, so wie wir in dem Beispiel 4 Gleichungen betrachtet haben).
Nachdem wir nun aber die Gleichung 2 immer mit den anderen Gleichungen kombiniert haben, haben wir nun noch n-1 Gleichungen (wie in dem Beispiel, wenn man 4 Gleichungen verrechnet, hat man danach noch 3 mit 3 Unbekannten usw.)
Die erste Gleichung hat noch alle Unbekannten außer $x_1$. Die zweite Gleichungen hat $x_2$ und $x_3$, sonst keine Unbekannte. Welche Unbekannte haben also alle Gleichungen gleich? ─ christian_strack 22.10.2021 um 21:09
Nachdem wir nun aber die Gleichung 2 immer mit den anderen Gleichungen kombiniert haben, haben wir nun noch n-1 Gleichungen (wie in dem Beispiel, wenn man 4 Gleichungen verrechnet, hat man danach noch 3 mit 3 Unbekannten usw.)
Die erste Gleichung hat noch alle Unbekannten außer $x_1$. Die zweite Gleichungen hat $x_2$ und $x_3$, sonst keine Unbekannte. Welche Unbekannte haben also alle Gleichungen gleich? ─ christian_strack 22.10.2021 um 21:09
X2?
─
anonymf76f7
22.10.2021 um 21:38
Ja genau. Wir wollen zuerst $x_2$ bestimmen.
Du kannst jetzt entweder das Additionsverfahren oder das Einsetzungsverfahren nutzen um nach und nach die anderen Unbekannten los zuwerden. ─ christian_strack 23.10.2021 um 11:47
Du kannst jetzt entweder das Additionsverfahren oder das Einsetzungsverfahren nutzen um nach und nach die anderen Unbekannten los zuwerden. ─ christian_strack 23.10.2021 um 11:47
wie genau sieht denn jetzt das LGS aus?
so?:
x2+x3+...+xn-1+xn=0
x2-xk=k-2 ─ anonymf76f7 23.10.2021 um 14:08
so?:
x2+x3+...+xn-1+xn=0
x2-xk=k-2 ─ anonymf76f7 23.10.2021 um 14:08
also ich hätte jetzt folgendes...
x2= n-2+xn
x3= -n+2-xn
x1= -2n
aber das ist falsch... ─ anonymf76f7 23.10.2021 um 18:39
x2= n-2+xn
x3= -n+2-xn
x1= -2n
aber das ist falsch... ─ anonymf76f7 23.10.2021 um 18:39
Guck es dir doch nochmal an dem vereinfachten Beispiel an.
Wir hatten ja den Zwischenschritt
$$ \begin{array}{ccc} x_2 + x_3 + x_4 & = & 0 \\ x_2 - x_3 & = & 1 \\ x_2 - x_4 & = & 2 \end{array} $$
Wie können wir jetzt aus der Gleichung 1 und Gleichung 2 das $x_3$ verschwinden lassen? ─ christian_strack 24.10.2021 um 12:50
Wir hatten ja den Zwischenschritt
$$ \begin{array}{ccc} x_2 + x_3 + x_4 & = & 0 \\ x_2 - x_3 & = & 1 \\ x_2 - x_4 & = & 2 \end{array} $$
Wie können wir jetzt aus der Gleichung 1 und Gleichung 2 das $x_3$ verschwinden lassen? ─ christian_strack 24.10.2021 um 12:50
hat man dann:
x2+x3+x4=0
2x2+x4=1
x2-x4=2
? ─ anonymf76f7 24.10.2021 um 12:56
x2+x3+x4=0
2x2+x4=1
x2-x4=2
? ─ anonymf76f7 24.10.2021 um 12:56
genau. Also die 1 und 2 Gleichung werden ja zu einer neuen, deshalb würde ich die oberste mal weglassen.
Es ist also $x_3$ verschwunden in der Gleichung und es ist ein $x_2$ dazugekommen. Wie bekommen wir jetzt aus den Gleichungen
$$ \begin{array}{ccc} 2x_2 + x_4 & = & 1 \\ x_2 - x_4 & = & 2 \end{array} $$
das $x_4$ weg? ─ christian_strack 24.10.2021 um 13:22
Es ist also $x_3$ verschwunden in der Gleichung und es ist ein $x_2$ dazugekommen. Wie bekommen wir jetzt aus den Gleichungen
$$ \begin{array}{ccc} 2x_2 + x_4 & = & 1 \\ x_2 - x_4 & = & 2 \end{array} $$
das $x_4$ weg? ─ christian_strack 24.10.2021 um 13:22
dann hat man 2x2+x4=1
3x2=2
dann teilt man die untere gleichung durch drei und hat x2= 2/3 ─ anonymf76f7 24.10.2021 um 16:51
3x2=2
dann teilt man die untere gleichung durch drei und hat x2= 2/3 ─ anonymf76f7 24.10.2021 um 16:51
Ne man hat ja 1+2 auf der rechten Seite der Gleichung. Also $3x_2=3$.
Worauf ich aber hinaus will ist folgendes:
Immer wenn du eine der anderen Gleichungen zur ersten Gleichung dazuaddierst, was verändert sich? ─ christian_strack 24.10.2021 um 16:53
Worauf ich aber hinaus will ist folgendes:
Immer wenn du eine der anderen Gleichungen zur ersten Gleichung dazuaddierst, was verändert sich? ─ christian_strack 24.10.2021 um 16:53
man hat immer x2=1?
─
anonymf76f7
24.10.2021 um 16:57
also es verändert sich immer nur x2 und das was rechts steht?
─
anonymf76f7
24.10.2021 um 17:22
Ja genau es wird immer ein $x_2$ mehr.
Was passiert denn mit den anderen $x_i$?
Bei der rechten Seite addieren wir erst 1 dann 2 dann 3 usw. Guck mal deinen Hinweis an ─ christian_strack 24.10.2021 um 21:12
Was passiert denn mit den anderen $x_i$?
Bei der rechten Seite addieren wir erst 1 dann 2 dann 3 usw. Guck mal deinen Hinweis an ─ christian_strack 24.10.2021 um 21:12
Der Hinweis sagt ja
K1=1
K2=3
K3=6
K4=10
….
Also man addiert ja sozusagen +1+2+3+4 dazu ich glaube langsam verstehe ich es also ich sehe zumindest endlich einen Zusammenhang. Aber wir notiere ist das formal korrekt? ─ anonymf76f7 24.10.2021 um 22:03
K1=1
K2=3
K3=6
K4=10
….
Also man addiert ja sozusagen +1+2+3+4 dazu ich glaube langsam verstehe ich es also ich sehe zumindest endlich einen Zusammenhang. Aber wir notiere ist das formal korrekt? ─ anonymf76f7 24.10.2021 um 22:03
Wir erhalten ja jetzt eine Gleichung. Wie diese aussieht steckt in meiner letzten Antwort.
Linke Seite: Es wird bei jeder Addition der Gleichungen ein $x_2$ dazuaddiert und die anderen $x_i$ ... (?)
Rechte Seite: Bei jeder Addition der Gleichungen kommt ein neuer Summand dazu. Erst 1, dann 2, dann 3 usw. Wie oft passiert das denn? Was sagt uns dann der Hinweis dazu? ─ christian_strack 24.10.2021 um 23:47
Linke Seite: Es wird bei jeder Addition der Gleichungen ein $x_2$ dazuaddiert und die anderen $x_i$ ... (?)
Rechte Seite: Bei jeder Addition der Gleichungen kommt ein neuer Summand dazu. Erst 1, dann 2, dann 3 usw. Wie oft passiert das denn? Was sagt uns dann der Hinweis dazu? ─ christian_strack 24.10.2021 um 23:47
Die xi werden subtrahiert? Und auf der rechten Seite passiert das doch k- mal….? Oder
─
anonymf76f7
25.10.2021 um 06:39
Jetzt müssen wir ein bisschen mit den Buchstaben aufpassen. Mit k haben wir schon mal eine bestimmte Gleichung beschrieben. Wir haben ja jetzt noch n-1 Gleichungen.
Da wir alle weiteren Gleichungen zur ersten addieren, machen wir das wie oft?`
Mit der linken Seite liegst du richtig. Damit bleibt was übrig? ─ christian_strack 25.10.2021 um 10:02
Da wir alle weiteren Gleichungen zur ersten addieren, machen wir das wie oft?`
Mit der linken Seite liegst du richtig. Damit bleibt was übrig? ─ christian_strack 25.10.2021 um 10:02
Ah bei dem Hinweis geht die Summe aber bis k. Wir können den Buchstaben wählen, der für dich am besten ist :)
─
christian_strack
25.10.2021 um 10:04
Ich habe es heute geschafft mit dem Wissen von hier und Tipps im lernzentrum habe ich es endlich verstanden 😍😍😍danke für die Mühe, Geduld und ganze Arbeit!!! Danke danke danke danke!!!!
─
anonymf76f7
25.10.2021 um 19:57
Das freut mich sehr zu hören :)
Also der Vollständigkeithalber, bei der Addition aller übrigen Gleichungen erhalten wir
$$ (n-1)x_2 = \sum\limits_{k=1}^{n-2} k $$
und die anderen $x_i$ erhalten wir über
$$ x_k = x_2 -(k-2) $$
─ christian_strack 25.10.2021 um 21:29
Also der Vollständigkeithalber, bei der Addition aller übrigen Gleichungen erhalten wir
$$ (n-1)x_2 = \sum\limits_{k=1}^{n-2} k $$
und die anderen $x_i$ erhalten wir über
$$ x_k = x_2 -(k-2) $$
─ christian_strack 25.10.2021 um 21:29
wirklich 1000 dank!!!!
─
anonymf76f7
25.10.2021 um 21:37
:D sehr gerne.
─
christian_strack
25.10.2021 um 21:48