Question

Kreuzprodukt aus drei Richtungsvektoren

Erste Frage Aufrufe: 540 Aktiv: 12.09.2020 um 00:12

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Ist es möglich aus drei Richtungsvektoren ein Kreuzprodukt zu bilden? Wenn nicht, wie bekommt man n (den orthogonalen vektor) bei einer Gerade wie :

g = (8, -1, 9) +r * (7,9,8) + s * (4,5,3) + m* (1,2,3)

..heraus?

.. ist wahrscheinlich keine Aufgabe die ein richtiges Ergebnis hat. Hatte leider kein gutes Beispiel und habe irgendwelche Zahlen genommen. Aber vllt kann mir das ja jemand im allgemeinen erklären.

Danke für die Hilfe :)

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gefragt 07.09.2020 um 13:01

maya
Punkte: 10

Hi Maya, das ist keine Gerade, sondern ein ganzer Raum! Die Schreibweise ist auch nicht korrekt: Es müsste "g: X = ..." heißen. Eine Gerade hätte nur EINEN Richtungsvektor.
Beschreib nochmal genau: Bist Du sicher, dass Du den orthogonalen Vektor auf eine Gerade möchtest, nicht auf eine Ebene? In wieviel Dimensionen? 2, 3, 4, ...? ─ jannine 07.09.2020 um 19:52

In der Aufgabe, auf die ich mich bezogen habe, sollte ich den Schnittpunkt einer Ebene und einer Gerade bestimmen. Hierfür muss ich meines Wissens nach zunächst den orthogonalen Vektor der Gerade berechnen. Bei Geraden mit nur einem Riichtungsvektor habe ich das immer mit dem Kreuzprodukt aus Stütz-und Richtungsvektor gemacht. Daher wollte ich fragen, ob man auch das Kreuzprodukt aus einem Stütz- aber zwei Richtungsvektoren bilden kann, bzw. auf welche Weise man sonst n bestimmen könnte.

In meinen Aufgaben hatte ich oft Geraden mit mehr als einem Richtungsvektor. Muss ich dann die Formel irgendwie kürzen, sodass ich nurnich einen Richtungsvektor habe, oder wie mache ich das?

Die Ebene ging meistens bis x hoch 3.

Lieben Dank für die Antwort :) ─ maya 11.09.2020 um 18:48

Sorry, da bräuchte ich ein Aufgaben-Beispiel, denn es kann im 3-dimensionalen Raum keine Gerade mit mehr als einem Richtungsvektor geben :-(
Grund: Stell Dir einen Vektor im 3-dimensionalen Raum vor. Dieser beschreibt die Richtung einer Gerade EINDEUTIG. Sie braucht nur noch einen Aufpunkt. 2 Richtungsvektoren spannen eine Ebene auf ...

Einen senkrechten Vektor auf 3 Richtungsvektoren (also Vektoren, wo man keinen weglassen kann, um das Objekt zu beschreiben) KANN es nur in mindestens 4 Dimensionen geben, da jeder Richtungsvektor (wenn er nicht überflüssig ist!) eine Dimension festlegt, sorry :-( ─ jannine 11.09.2020 um 18:56

PS Beispiele Dimensionen: Ein Koordinatensystem mit x1, x2, x3 hat 3 Dimensionen, und wir selbst leben im 3-dimensionalen Raum (wenn man die Zeit weglässt) ─ jannine 11.09.2020 um 19:13

PPS: Einen orthogonalen Vektor benötigt man für: Lot oder nahester Punkt (sogenannter "Fußpunkt") einer Ebene oder Gerade zu einem Punkt, Entfernungen, Winkel oder Normalenform natürlich.
Aber für Schnittpunkte an sich nicht.

Anmerkung zu dem von Dir beschriebenen Vorgehen:
Du hast da noch weitere Missverständnisse:
1. "DEN orthogonalen Vektor der Gerade" gibt's nur im 2-Dimensionalen. Im 3-Dimensionalen gibt es unendlich viele senkrechte Vektoren, da ein zu einer Geraden senkrechter Vektor sich beliebig um die Gerade drehen kann.
2. Kreuzprodukt aus Stütz-und Richtungsvektor ist geometrisch Unsinn, da der "Stützvektor" nur der Ortsvektor eines Punktes ist. Dieser Vektor wird leider oft missinterpretiert: Die RICHTUNG dieses Vektors hat NICHTS mit der Geraden zu tun!
DER senkrechte Vektor im 3-Dimensionalen macht nur auf einer Ebene Sinn. Und den könntest Du aus den beiden Richtungsvektoren einer Ebene berechnen :-)

Jetzt hab ich noch eine Idee! Wenn Du sagst "Geraden mit mehreren Richungsvektoren" meinst Du da auch Ortsvektoren bzw. das was Du als "Stützvektor" bezeichnest?
Wie gerade ausgeführt, ist der "Stützvektor" nur der Ortsvektor eines Punktes der Geraden, d.h. solche Punkte hat die Gerade beliebig viele. Und von DENEN ist wie gesagt die RICHTUNG völlig bedeutungslos.
Das könnte das wesentliche Missverständnis sein, nicht?

Ich bin ab morgen nachmittag wieder erreichbar :-)

PPS: Einen orthogonalen Vektor benötigt man für: Lot oder nahester Punkt (sogenannter "Fußpunkt") einer Ebene oder Gerade zu einem Punkt, Entfernungen, Winkel oder Normalenform natürlich.
Aber für Schnittpunkte an sich nicht.

Anmerkung zu dem von Dir beschriebenen Vorgehen:
Du hast da noch weitere Missverständnisse:
1. "DEN orthogonalen Vektor der Gerade" gibt's nur im 2-Dimensionalen. Im 3-Dimensionalen gibt es unendlich viele senkrechte Vektoren, da ein zu einer Geraden senkrechter Vektor sich beliebig um die Gerade drehen kann.
2. Kreuzprodukt aus Stütz-und Richtungsvektor ist geometrisch Unsinn, da der "Stützvektor" nur der Ortsvektor eines Punktes ist. Dieser Vektor wird leider oft missinterpretiert: Die RICHTUNG dieses Vektors hat NICHTS mit der Geraden zu tun!
DER senkrechte Vektor im 3-Dimensionalen macht nur auf einer Ebene Sinn. Und den könntest Du aus den beiden Richtungsvektoren einer Ebene berechnen :-)

Jetzt hab ich noch eine Idee! Wenn Du sagst "Geraden mit mehreren Richungsvektoren" meinst Du da auch Ortsvektoren bzw. das was Du als "Stützvektor" bezeichnest?
Wie gerade ausgeführt, ist der "Stützvektor" nur der Ortsvektor eines Punktes der Geraden, d.h. solche Punkte hat die Gerade beliebig viele. Und von DENEN ist wie gesagt die RICHTUNG völlig bedeutungslos.
Das könnte das wesentliche Missverständnis sein, nicht?

Ich bin ab morgen nachmittag wieder erreichbar :-)

─ jannine 12.09.2020 um 00:05

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1 Antwort

jannine · Answer 1 · 2020-09-11T19:17:03Z

Hi Maya,

die ursprüngliche Aufgabe, die Du im Kommentar beschrieben hast, kann ich lösen:
In der Aufgabe sollte der Schnittpunkt einer Ebene und einer Geraden bestimmt werden.
Das ist viel einfacher! Dazu braucht man keinen senkrechten Vektor.
Schnittpunkte erhält man IMMER, in dem man alle Gleichungen, mit denen die Objekte bestimmt sind, erfüllt!

Beispiel von früher: Schnittpunkt von f(x) und g(x) erhielt man über f(x) = g(x)
Das ist verkürzt, da die "Gleichungen" y = f(x) und y = g(x) bereits verwendet wurden. Diese müssen beide erfüllt sein für das GLEICHE x und das GLEICHE y! Es wurde also f gleich g gesetzt und x ausgerechnet.

Jetzt hat man stattdessen ein Gleichungssystem!
Falls man Parameterform oder Normalenform hat, dann ergibt JEDE Koordinate eine Gleichung. Bei Koordinatenform hat man ja schon eine Gleichung.
Dieses Gleichungssystem musst Du lösen und erhälst die Punkte, die alle Bedingungen erfüllen.
Es kann natürlich auch sein, dass es keinen Schnitt gibt! Dann widersprechen sich die Gleichungen während Du das Gleichungssystem löst. Und es gibt KEINEN Punkt :-)

Bei Parameterform aufpassen: Wenn Du 2 Parameterformen hast, dann musst Du für das Gleichungssystem unterschiedliche Namen für die Parameter der verschiedenen Objekte nehmen. (Z.B. nicht überall \(\lambda\), sondern z.B. \(\lambda_E\) und \(\lambda_g\))