Es wird schon mit der Offenheit des Komplements gehen, das ist aber technisch anspruchsvoller als die Abgeschlossenheit direkt zu zeigen. Sollte letzteres in Frage kommen, muss man zeigen, dass für jede Folge in S, die konvergiert, der Grenzwert auch wieder in S liegt. Schaffst Du das?

Über Offenheit des Komplements: Sei \(x\in R^2\setminus S\). Dann hat \(x\) einen Abstand \(d>0\) zu \(S\) (könnte man ausrechnen, \(S\) ist ja ein Kreis). Dann gilt für die Kugel \(B(x,\frac{d}2)\subset R^2\setminus S\). Also ist \(R^2\setminus S\) offen. Das müsste man aber je nach Anspruch noch genauer ausführen, das war jetzt die Beweisidee (Skizze hilft).

Falls man die Offenheit des Komplements zeigen möchte:

Definiere die Funktion \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (x,y) \to x^2 + y^2 \) und \( M_1 =\{ (x,y) \in \mathbb{R} \vert f(x,y) \in (1, \infty) \} \) sowie \( M_2 =\{ (x,y) \in \mathbb{R} \vert f(x,y) \in (- \infty, 1) \} \).

\(M_1\) ist offen, denn: Sei \( (x,y) \in M_1 \), also \( f(x,y) \in (1,\infty) \). Wegen der Stetigkeit von \(f\) und der Offenheit von \((1, \infty)\) finden wir zu einem hinreichend kleinen \( \varepsilon > 0 \) ein \( \delta > 0 \) mit \( f(B_{\delta}(x,y)) \subset B_{\varepsilon}(f(x,y)) \subset (1, \infty) \), also \(B_{\delta} (x,y) \subset M_1\).

Analog zeigt man die Offenheit von \(M_2\).

Das Komplement ist nun als Vereinigung der offenen Mengen \(M_1\) und \(M_2\) offen.