Es ist \(\log_2(x)\) streng monoton wachsend und \(\log_2(1-x)\) streng monoton fallend.

Es sei \(x>\frac{1}{2}\). Dann gilt \(x>\frac{1}{2}>1-x\).

\(x\log_2(x)+(1-x)\log_2(1-x)\geq x\log_2(1-x)+(1-x)\log_2(1-x)=\log_2(1-x)\geq \log_2(\frac{1}{2})=-1\).

Den Fall \(x< \frac{1}{2}\) überlasse ich dir. Und für \(x=\frac{1}{2}\) folgt durch einfaches Nachrechnen die Gleichheit. 

Ich würde die Logarithmen mit den Logarithmengesetzen zusammenfassen und den Logarithmus für das weitere abschätzen eliminieren. Also wie folgt:

\(x\log_2(x)+(1-x)\log_2(1-x)\geq -1 \quad \Leftrightarrow \quad \log_2 (x^x)+\log_2\left((1-x)^{1-x}\right)+1\geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad \log_2\left(x^x \cdot (1-x)^{1-x} \right)+\log_2(2)\geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad \log_2\left( 2\cdot x^x\cdot (1-x)^{1-x}\right)\geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x^x\cdot (1-x)^{1-x} \geq 1\)

Aber weiter habe ich es jetzt nicht durchgerechnet. Vielleicht hilft dir das ja weiter und du kannst den Rest für \(x\in (0,1)\) zeigen. Ich brauch aber jetzt auch erstmal ne Mütze schlaf. Dann kann ich Morgen in Ruhe nochmal drüber schauen.

Hoffe das hilft weiter.