Tangens und Arkustangens

Aufrufe: 521     Aktiv: 13.05.2022 um 21:15
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Hey, ich habe ein paar Probleme folgende Aufgabe zu verstehen. 

Ich habe eine Abbildung $\Phi (r, \phi)=(r \cos(\phi), r \sin(\phi)^T=:(x,y)^T$

Nun ist die Frage: Für welche Werte x und y liefert die Formel $$ \phi = \arctan(\frac{y}{x})$$ das richtige Ergebnis und wie viel Fälle muss man unterscheiden, um für alle $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ das richtig Ergebnis zu erhalten. 

Es gilt nun ja
$$ \tan(\phi)=\frac{y}{x}$$ das gilt nur, für $x \neq 0$. Die Lösung unterscheidet jetzt folgende Fälle 
$$\phi = $$
  • $\arctan( \frac{y}{x})$ für $x >0$
  • $\frac{\pi}{2}$ für $x=0, y>0$
  • $ \pi +\arctan( \frac{y}{x})$ für $x <0, y\geq 0$
  • $ \pi - \arctan( \frac{y}{x})$ für $x <0, y<0$
  • $\frac{\pi}{2}$ für $x=0, y<0$
Ich weiß, auch dass der Tangens auf $(- \pi/2, \pi/2)$ und entsprechende Verschiebung um Vielfache definiert ist und die Umkehrfunktion, dann entsprechend $k\pi + \arctan(x)$ sein kann.

Ich habe mir auch beide Graphen zeichnen lassen: 


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ich verstehe nicht, wie man auf die Fälle kommt, also warum setzt man für x=0 und y>0 phi=pi/2   ─   walterfrosch 13.05.2022 um 16:37
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1 Antwort
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... weil es das richtige Ergebnis liefert.
Zeichne Dir nicht den Graphen von $\tan$ oder $\arctan$, sondern einen Punkt (x,y) und lies an der Skizze ab, in welchem Bereich der Winkel liegen muss. Mit Berücksichtigung von Def- und Wertebereich von $\arctan$ kommt man dann genau auf das gewünschte Ergebnis.
Es geht ja hier um Umrechnung in Polarkoordinaten, aber es kommt darauf an, ob man $\phi\in (-\pi,\pi]$ oder $\phi\in [0,2\pi)$ als "richtig" ansieht. Das muss man sich vorher(!) überlegen.
Der letzte Fall stimmt auf jeden Fall nicht, da muss entweder $-\frac\pi2$ oder $\frac{3\pi}2$ stehen, je nachdem.
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@mikn in deine LaTeX-Code hast glaube ich ein Zeichen zu viel und/oder zu wenig, so dass es nicht wie wahrscheinlich beabsichtigt angezeigt wird   ─   maqu 13.05.2022 um 17:37
Die Antwort hat einen kleinen $\TeX$nischen Fehler ;-)   ─   mathe42 13.05.2022 um 17:52
Erst nachdem ich meinen Kommentar verfasst hatte, schlüpfte plötzlich ein 15min alter Kommentar ähnlicher Aussage darüber hinein...   ─   mathe42 13.05.2022 um 18:39
Ich danke dir, ich glaube ich habe es Verstanden. Es kommt darauf an, in welchem Quadraten ich bin. In unserer Aufgabe ist $\phi$ von $(- \pi/2,- \pi/2]$ also ist in der "rechten Seite", also Quadrant 1 und 4 einfach der arctan und in den anderen Quadranten verschiebe ich entsprechend oder bin auf der y-Achse, oder?   ─   walterfrosch 13.05.2022 um 18:44
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um wieder etwas "on-topic" zu werden:
Fallunterscheidungen sind natürlich für x=0 nötig, wo die Division gar nicht durchführbar ist,
und darüberhinaus zum Erkennen des richtigen Quadranten des Punktes. Bei der Division werden ja die Vorzeichen von x und y zu einem Vorzeichen des Quotienten zusammengefasst, und somit jeweils diagonal gegenüberliegende Quadranten nicht mehr aus dem Quotienten alleine unterscheidbar.   ─   mathe42 13.05.2022 um 18:45
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Und bei Punkten exakt auf der y-Achse muss man auch noch die obere(positive) und die untere(negative) Hälfte unterscheiden, weil sich daraus verschiedene Winkel ergeben.   ─   mathe42 13.05.2022 um 18:48
Noch was: Bei Polar-koordinaten ist der Winkel jedenfalls nicht auf $(-\pi/2,\pi/2]$ beschränkt. überlege dir, was für einen Winkel z.b. der Punkt (-1,1) hat, und auf welchen Winkel du mit bloßem arctan(1/-1) kommst.

Für ein leichteres Erfassen der Winkel kannst du ja den Taschenrechner auch mal von "Rad" auf "Deg" umschalten, und mit Winkeln von -180° bis 180° rechnen...   ─   mathe42 13.05.2022 um 18:59
theoretisch sollte es aber doch ein Intervall sein, dass eine Länge von 2pi hat, oder nicht, damit es eindeutig ist? Arctan(-1), dann muss ich mir überlegen was ich für den Tanges einsetzen kann, damit -1 rauskommt, oder? Für pi/4 kommt eins raus, da dort sinus und cosinus gleich ist, um pi weitergedreht, kommt 5pi/4 raus oder?

Aber in der Aufgabe ist der Winkel von Großphi auf das obige Intervall beschränkt   ─   walterfrosch 13.05.2022 um 19:10
In welche Richtung würde $\Phi = 5\pi/4$ vom Ursprung aus gesehen "hinzeigen"? (Ich glaube, *nicht* in Richtung Punkt $(-1,1)$ )
Da muss dann wohl was schiefgegangen sein...   ─   mathe42 13.05.2022 um 19:32
@mathe42: sorry, habe mir (-1,-1) angeschaut, so bin ich dann 90 Grad zu weit gegangen.   ─   walterfrosch 13.05.2022 um 20:35
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Hauptsache, du erarbeitest dir ein Gefühl, wie du abhängig vom Quadranten des Punktes das Ergebnis des Arctan richtig anpasst.   ─   mathe42 13.05.2022 um 20:55

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.